Презентация, доклад по геометрии Вневписанные окружности треугольника

четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найти радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 4, а отношение катетов треугольника равно 4:3

вневписанной окружности.

его сторон. Для любого треугольника можно построить три вневписанные окружности.

выражается формулой



где S, p – площадь и полупериметр рассматриваемого треугольника.

Некоторые свойства вневписанной окружности

К равноудалена от BM и BC, СN и BC => по свойству биссектрис MK=KN => AK – биссектриса ∠А.
2.





3.

4.

5.

Следствие.
Центр вневписанной окружности треугольника есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника.

a

сторонами этого угла равны
полупериметру данного треугольника.

AM = AN = p

равен произведению полупериметра

треугольника на тангенс половины этого угла, т.е.

где r — радиус вписанной окружности; ra — радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a; rb — радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне b; rc — радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне c.

r

гипотенузы прямоугольного треугольника, равен полупериметру этого треугольника, то есть rc = p.
Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника равен сумме радиусов окружностей вписанной и вневписанной, касающейся этого катета, то есть a = ra+ r и b = rb + r.
Свойство 3. Катеты прямоугольного треугольника АВС с прямым углом в вершине С могут быть найдены через радиусы ra, rb, rc вневписанных окружностей по формулам:

углом C выражаются через радиусы этих окружностей формулами:

Свойство 4. Площадь прямоугольного треугольника АВС с прямым углом в вершине С может быть найдена через радиус r вписанной и радиусы ra, rb, rc вневписанных окружностей по одной из формул:

можно вписать окружность. Найти радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 4, а отношение катетов треугольника равно 4:3

1-й случай
1)Прямоугольные треугольники MBN и АВС подобны, поскольку имеют общий острый угол.
2)MB:MN=BC:AC=3:4
3)Отсюда MB=3.Тогда NB=5
4)Для треугольника NMB окружность, вписанная в треугольник АВС, является вневписанной.
5)Тогда по формуле r=Smnb/(pmnb –MN)=3

Рассмотрим два случая расположения отрезка прямой MN, перпендикулярной гипотенузе и касающейся вписанной окружности.

угол.
2)AM:MN=AC:BC=4:3
3)Отсюда AM=16/3.Тогда AN=20/3
4)Для треугольника MAN окружность, вписанная в треугольник АВС, является вневписанной.
5)Тогда по формуле r=Smna/(pmna –MN)=8/3

она лежит на биссектрисах DE и BE углов ADC и ABC.
Поэтому точка E лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине A ΔABD.
Значит, E – центр вневписанной окружности ΔADB.

AD – биссектриса угла BAC. Лучи AE и AD делят развёрнутый угол с вершиной A на три равных угла.
Следовательно, каждый из них равен 60º, а  BAC = 120º.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A.

сложных задач в ЕГЭ, а также позволяет свести решаемую задачу к элементарным задачам.