Презентация, доклад по математике Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли (11 класс)

Фульман

лемнискату
Использовать лемнискату как траекторию движения

является функция F(x ,y)-алгебраической или трансцендентной, - кривые также делятся на алгебраические и трансцендентные.
Пример: лемниската Бернулли.

Определение неявно заданной функции

которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек - фокусов - постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними.
МF₂∙MF₁=(½ F₂F₁)²

Определение лемнискаты

Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению. В 1694 г. Якоб Бернули в работе, посвященной теории приливов и отливов, использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он задает уравнением.

Он отмечает сходство этой линии с цифрой 8 и узлообразной повязкой, которую он именует «лемниском». Отсюда называние лемниската. Лемниската получила широкую ивестность в 1718 г., когда итальянский математик Джулио Карло Фаньяно (1682 – 1766) установил, что интеграл, представляющий длину дуги лемнискаты, не выражается через элементарные функции. Лемниската есть частный вид линии Кассини.

Историческая справка

произвольная точка геометрического места,
то по условию


Подставляя в это равенство выражения



получим искомое уравнение данного геометрического места

Вывод уравнения лемнискаты

в квадрат обе части уравнения и группируя члены, находим



отсюда

Преобразование уравнения лемнискаты

степенях, то лемниската симметрична относительно координатных осей.
Построить график данной функции затруднительно.
Запишем это же уравнение в полярной системе координат.

Построение графика лемнискаты

ρ2, то уравнение лемнискаты в полярных координатах примет вид
ρ 4=2а2 ρ(cos2φ- sin2φ)
или

ρ 2=2а2 cos2φ.

Уравнение лемнискаты в полярной системе координат

угольников и нарисованной на листе бумаги окружности. Вершина острого угла одного из угольников находится в центре окружности, вершина прямого угла другого -на окружности
способ Маклорена (метод секущих)

Способы построения

на плоскости.

Способы построения

Механизм Ватта

закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвайных путях.
. В качестве примера применения лемнискаты в области физики можно указать, что линия поля, создаваемого двумя параллельными токами, текущими по бесконечно длинным проводникам в плоскости, к ним перпендикулярной, является лемнискатой.

Применение