Презентация, доклад по математике на тему Подготовка к ЕГЭ, задание В8

Багдуева Д.Л.

её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Функцию, имеющую производную(в некоторой точке), называют дифференцируемой (в этой точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Производная так же является функцией.

к приращению аргумента при стремящемся к нулю приращении аргумента.

касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой x˳. Нужно помнить, что угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной.

Геометрический смысл производной

нему в точке с абсциссой x˳. Найдите значение производной функции f(x) в т.x˳ точке x˳.

Решение задач

в точке касания «минус». Выберем две точки касательной.
Например, (-2; -9) и (-5; -3). Разность их абсцисс
Δ x = 3, разность ординат Δ y = 6. Делим Δ y на Δ x, получаем 6 : 3= 2, ставим знак «-».
Ответ: - 2.

y = x ² +2x -7. Найдите абсциссу точки касания.

угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой y = 3x – 5, то есть k = 3. Так как касательная проведена к графику функции y = x ² + 2x – 7, то значение производной в точке касания равно значению углового коэффициента касательной, то есть y´(x) = 3.
Найдём производную функции y = x ² + 2x – 7.
y´(x) = (x ² + 2x – 7) ´=2x +2. Из равенства y´(x) = 3 можно найти абсциссу точку касания.
2x +2 = 3
2x = 1
x = 0,5
Ответ: x = 0,5

функции y = x³ + 3x² - 4x + 11. Найдите абсциссу точки касания.

Получим y´(x) = -4, где
y´(x) = (x³ + 3x² - 4x + 11) ´ = 3x² + 6x – 4.
3x² + 6x – 4 = - 4
3x² + 6x = 0
3x( x + 2 ) = 0
x = 0, или x = -2.
Мы получили два возможных значения для абсциссы точки касания. Выбрать одно из них можно, подставив найденные значения x в формулы функции и касательной. В точке касания значения функции и прямой должны совпасть.

+ 11 = 0³ + 3 · 0² - 4 · 0 + 11 = 11
y кас = - 4x +15 = - 4 · 0 + 15 = 15
y (0) = 11
y кас (0) = 15.
Так как значения функции и касательной при x = 0 разные, абсцисса x = 0 нам не подходит.
Проверим при x = -2:
y = x³ + 3x² - 4x + 11 = (-2)³ + 3 · (- 2)² - 4 · (- 2) + 11= 23
y кас = - 4x +15 = - 4 · (- 2) + 15 = 8 + 15=23.
Значения функции и касательной при x = - 2 равны, значит, абсцисса точки касания x = - 2.
Ответ: - 2

на интервале (- 9; 8). Определите количество целых точек на этом интервале, в которых производная функции f(x) положительна.

Производная функции f (x) положительна, если функция возрастает.






На рисунке отмечены точки, принадлежащие промежуткам возрастания, в которых производная функции f (x) положительна. Это точки -8; -7; -5; -4; -3; 0; 2; 3; 4; 6. Количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна, равно 10. Ответ: 10

интервале (-9; 8). В какой точке отрезка [-8; -4] f(x) принимает наибольшее значение?

отрезке [- 8; -4], а ордината y наибольшая из возможных, то есть эта точка «самая высокая». Для данного графика это точка
(-6; 5). Значит, f(x) принимает наибольшее значение в точке x = - 6.
Ответ: - 6

Найдите количество точек на отрезке [-8; 3], в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 3

касательная к графику функции параллельна прямой y = 3. По чертежу видно, что число таких точек равно 6.






Ответ: 6

на интервале (-2; 10). Найдите сумму точек экстремума функции y = f (x).

которых на графике видны «горбики» и «впадинки». Точками экстремума данной функции являются точки x = -1, x = 0, x = 3,
x = 4, x = 6, x = 7 и x = 9. Сумма точек экстремума функции y = f (x) равна -1+0+3+4+6+7+9=28
Ответ: 28

интервале (-7,5; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f (x) параллельна прямой y = x + 1 или совпадает с ней.

y = x + 1 или совпадает с ней, если её угловой коэффициент k = 1. Но значение углового коэффициента касательной равно значению производной в точке касания, то есть нам нужно найти точки, в которых производная
f´ (x) = 1. Построим прямую y = 1, параллельную оси Ох. Видим, что прямая и график функции имеют 4 общие точки. Это и значит, что
f´ (x) = 1 в этих четырёх точках, и в них касательная к графику функции y = f (x) параллельна прямой y = x + 1 или совпадает с ней.
Ответ: 4

на интервале (-7,5; 7). Найдите промежутки возрастания функции. В ответе запишите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

целые точки на графике, в которых производная положительна (лежит выше оси абсцисс Ох). Эти точки лежат в интервале от – 7, 5 до 2, 5. Целых среди них 10.

Ответ: 10

(-7,5; 7). В какой точке отрезка [-5; -2] функция f(x) принимает наименьшее значение?

следовательно, f (x) на этом отрезке возрастает и принимает наименьшее значение на левом конце отрезка. В данном случае это x = - 5.


Ответ: - 5

интервале (- 5; 5). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-4; 3].

эту точку производная меняет знак, то есть график производной пересекает ось абсцисс Ох. Производная функции y = f´ (x) на отрезке [-4; 3] меняет знак три раза, поэтому количество точек экстремума функции y = f(x) на данном промежутке равно 3.

Ответ: 3

интервале (-5; 5). Найдите точку максимума функции y = f (x) на интервале (-3; 3).

-1, 1, 2, 4, 6. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

к графику этой функции в точке с абсциссой x˳. f´ (x) наименьшее в точке, в которой касательная образует самый маленький тупой угол с осью Ох («горка» в этом месте на вид «самая крутая»). Проведём касательные в заданных точках. Тупые углы в точках x = -1 и x = 4.
α< β, значит, наименьшая производная в точке 4