Презентация, доклад по математике на тему Комбинаторика

различных комбинаций (всевозможных объединений элементов), подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.
Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать».

Перемен»

(V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо..

употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые было дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. В своём сочинении, он вводит специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними,

в Индии ещё во II веке до н. э.
Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют «сочетания».
В ХII веке Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок.
Учёные изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях.
Например, в связи с подсчётом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов (стопы) из n слогов.
Изучением размещений впервые занимался Я Бернули во второй части своей книги «Искусство предугадывания».

требовавшие умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. О таких играх английский поэт Уордсварт писал:
Не нужно нам владеть клинком,
Не ищем славы громкой.
Тот побеждает, кто знаком
С искусством мыслить тонким.
б) дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, основанные на комбинаторных принципах, а секретные службы других государств пытались эти шифры отгадать.

рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств.

n2………… nm. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число всех возможных комбинаций вычисляется по формуле:

N= n1 ∙ n2 ∙ ….∙ nm

быть выбрана 6 способами. После того, как она выбрана, перчатку на правую руку можно выбрать лишь 5 способами (размеры перчаток должны быть разными), поэтому всего имеется 6*5=30 способов.
2. На золотую медаль претендует 15 команд, на серебряную- 14 команд (одна уже получит золотую медаль). По правилу имеем : 15*14=210 способов.
3. На первое место Парис может выбрать тремя способами, на второе – двумя (одна претендентка уже находится на первом месте ), на третье – одним способом. Поэтому имеем : 3*2*1=6 способов.

и обозначается n!.

из этих букв: AВС, АСВ, ВСА. ВАС, CAB, СBА.
Эти комбинации отличаются друг от друга только расположением букв.
Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
Перестановки обозначаются Рn,
где n — число элементов, входящих в перестановку

итоговой таблице турнира команды будут отличаться занятыми местами, поэтому для подсчета вариантов распределения мест между ними воспользуемся формулой перестановки:

учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
2.Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
3.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5,7,8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.
4.Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая цифра используется только один раз, можно составить из цифр: а)1,2,5,6,7,8; б)0,2,5,6,7,8?
5.Сколько существует перестановок букв слова «конус», в котором буквы «к», «о», «н» стоят рядом в указанном порядке?
6*.сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихов, так чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном порядке?
7*.Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1-го по 10-е? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечётных местах, а девочки – на чётных?

только из двух букв:
АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ.
Эти комбинации отличаются друг от друга только расположением букв или самими буквами.
Комбинации из n элементов по m элементам, которые отличаются или самими элементами,
или порядком их следования, называются размещениями.
Размещения обозначаются

расписание занятий на один день, если в учебный день разрешается проводить занятия только по четырем разным предметам? Решение.
Различных способов составления расписания столько, сколько существует четырехэлементных комбинаций из девяти элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, или их порядком, т.е.



Ответ: 3024

способами это можно сделать?


Решение: A123 = 12х11х10 = 1320


A123 =12!/(12-3)!=12!/9!= 12х11х10 = 1320

Задача 2

надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
2 На станции 7 запасных путей Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?
3 На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места: а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий?
4 Сколько четырёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1, 3, 5, 7, 9,; б) 0, 2. 4, 6, 8?
5 Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?
6 Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, (без их повторения) различных трёхзначных чисел, которые являются: а) чётными б) кратными 5?
7* На плоскости отметили несколько точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две точки провели прямую. Сколько точек было отмечено, если всего было проведено 28 прямых?

m элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет значения, в каком порядке указаны элементы).
Число сочетаний из n элементов по m обозначают Cmn (читается: «С из n по m»).

все возможные сочетания по m элементов. Число таких сочетаний равно Cmn В каждом сочетании можно выполнить Pm перестановок. В результате мы получим все размещения, которые можно составить из n элементов по m. Их число равно Anm .
Значит Cmn = (Anm)/Pm
Пользуясь тем, что Anm =n!/(n-m)!, а Pm =m!
Находим, что Cmn =n!/(m!*(n-m)!)
Мы получили формулу для вычисления числа сочетаний.

образовать тренер?

Решение : т.к. при составлении стартовой пятёрки, тренера интересует только состав, то достаточно определить число сочетаний из 10 по 5 элементов.
С10 5 = ( 10х9х8х7х6)/(1х2х3х4х5) = 252

успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в олимпиаде?
2 Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
3 На плоскости отмечено 8 точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки?
Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если а)заведующий лабораторией должен ехать в командировку; б) заведующий лабораторией должен остаться?
Номер машины в некотором городе составляют из двух различных букв, взятых из набора М, Н, К, Т, С, и трёх различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами?
6* Максим подсчитал, что существует 378 способов выбора из их класса двух дежурных. Сколько учащихся в этом классе?
7* На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если: а) словарь нужен ему обязательно; б)словарь ему не нужен?

числа перестановок?
Что такое размещения?
Записать формулу для нахождения числа размещений?
Что такое сочетания?
Записать формулу для нахождения числа сочетаний?

способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
№2. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам олимпиады, если число команд 15?
№3. Гера, Арина и Афродита попросили
Париса не только назвать самую красивую
из них, но и указать, кто на втором и
третьем местах. Сколько есть
вариантов ответов?

может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой досках?

№5. У Антона 6 друзей. Он может пригласить в гости одного или несколько из них. Определите общее число возможных вариантов.
№6. В 9 «а» классе учатся 25 учащихся, в 9 «б» - 20 учащихся, а в 9 «в» - 18 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «а», двух -из 9 «б» и одного – из 9 «в». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение задач по теме комбинаторика

участвуют 11 команд. Сколько вариантов распределения призовых мест между ними возможно?
3)Сколько можно составить всевозможных
комбинаций из букв А, В, С и Д?

Решите задачи используя формулы комбинаторики.

он может выбрать?
2.Сколькими способами 6 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
3.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 4,5,9, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.
4 Из 25 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
5 На станции 6 запасных путей Сколькими способами можно расставить на них 3 поезда?
На странице альбома 5 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места: а) 2 фотографии; б) 3 фотографии; в) 5 фотографий?
Номер машины в некотором городе составляют из двух различных букв, взятых из набора А, Н, О, У, С, и трёх различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами?