Презентация, доклад по математике на тему Метод мажорант

функции и исследовать, какие функции имеют мажоранту;

Изучить метод мажорант, применить этот метод для решения нестандартных уравнений и неравенств;

Привести примеры уравнений и неравенств, которые могут быть решены методом мажорант.

либо для всех , либо для всех ».

Основная идея метода мажорант состоит в следующем:

Пусть мы имеем уравнение и существует такое число M, что для любого x из области определения и имеем: и , тогда уравнение эквивалентно системе:

области значений заданных функций.
Пример
Решить уравнение

Решение
Проанализируем сначала правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию , графиком которой будет являться парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдём координаты вершины данной параболы: (5;8).
Тогда область значений этой квадратичной функции , причём значение 8 она принимает только один раз при х=5.
В левой части уравнения находится функция . Область значение её
[-8,8].
Значит, если графики этих функций имеют общую точку, то её ордината может быть только 8.
Данное уравнение равносильно системе:

Второе уравнение системы имеет единственный корень 5 , но при выполнении проверки первого уравнения получаем неверное равенство из чего делаем вывод, что система, а значит, и исходное уравнение, не имеет решений.

Ответ: решений нет.

значение функции


равно 3 при x =1.

У графиков данных функций только
одна общая точка с координатами
x=1, y=3

Ответ: 1

Решить неравенство:

так уж сложно.
Начинаем опять с анализа составляющих неравенства. Функция имеет наибольшее значение равное 1, причём достигается оно только при х=-4.
Учитывая, что функция возрастает , и , делаем вывод о справедливости неравенства при любом значении х.
Большим единицы произведение в левой части данного уравнения никак не может быть.
Неравенство равносильно системе:


Решаем первое уравнение системы:


Проверяем является ли число (-4) корнем второго уравнения системы.
Проверка:


равенство верное
Ответ: -4

Рассмотрим теперь пример, содержащий логарифм.

Решить неравенство

полезным применение базовых неравенств

Неравенство Коши
равенство достигается в этом неравенстве при a = b . Если же , то

Оценка однородного тригонометрического многочлена


Тригонометрические неравенства


Оценка двух взаимообратных чисел , если равенство достигается при

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы

Оценим левую часть уравнения

как сумма двух взаимнообратных положительных чисел.

Оценим правую часть уравнения

Уравнение равносильно системе:

Ответ: , , ,

Воспользуемся равенством для второго уравнения системы.

(*)

Найдем наименьшее значение функции, стоящей в левой части уравнения, на отрезке .

Отсюда видно, что f(x) возрастает на отрезках и , а убывает
на отрезке . Значит, наименьшее значение функция f(x)
принимает либо в точке , либо в точке .
Но и , наименьшим значением функции f на данном отрезке оказалось значение 1.
Итак, левая часть уравнения (*) не меньше 1 на отрезке , причем значение 1 может достигаться только при . А значение выражения в правой части уравнения (*) не больше 1. Значит, если значения функций совпадут, то этим значением может быть только 1.
Проверкой убеждаемся, что и правая часть при х=1/2 принимает значение 1 .
Ответ: 0,5

III cпособ. Нахождение мажоранты с помощью производной:
Пример
Найти все решения уравнения лежащие на отрезке

Решение

Число 2 – наименьшее значение выражения, стоящего в левой части неравенства, причём достигается оно лишь при х = -2.

Число 2 – наибольшее значение дроби, стоящей в правой части неравенства, причём достигается оно лишь при у=3.

Левая часть неравенства никогда не станет меньше 2.

Согласно применяемому нами методу остаётся единственная возможность, чтобы обе части неравенства приняли значение 2.

Ответ: (-2;3)

Решить неравенство:

Решение

По условию, Х и У целые числа, а тогда значения подкоренных выражений окажутся тоже целыми числами. Нельзя допустить, чтобы значения подкоренных выражений оказались больше или равны 1 (тогда неравенство не будет выполнено).
Значит, нам ничего не остаётся, как потребовать, чтобы значения подкоренных выражений, будучи целыми в то же время были и меньше 1. Это целое число 0.

Составим и решим систему
3х-2у-4=0
2х+3у-7=0

Эта система имеет единственное решение (2;1)
Ответ: (2;1)

тригонометрические функции, квадратичная функция, некоторые дробно-рациональные функции. Если мажоранта функции не задана явно, мы можем найти ее, исследуя функцию с помощью производной, или применяя некоторые «полезные» свойства, неравенства. Чтобы найти мажоранту функции нужно найти ее наибольшее или наименьшее значение на промежутке. Умение оценивать левую и правую части, входящих в уравнения и неравенства, позволяет успешно решать нестандартные задачи и задачи повышенной сложности.

Итак, мы считаем, что цели, которые мы ставили перед собой при выполнении нашей работы, достигнуты, а именно:
в нашей работе мы дали определение мажоранты, привели примеры функций, имеющих мажоранту;
мы изучили метод мажорант и привели примеры его применения при решении олимпиадных задач и задач из части С ЕГЭ.