Презентация, доклад по алгебре на тему Неравенство Коши (10 класс)

на очень простом неравенстве, появившемся ещё в древние времена. Это теорема или неравенство Коши:
«Среднее арифметическое нескольких положительных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел».
Прежде чем рассматривать само неравенство, различные задания, связанные с ним, предлагаю вам познакомиться с этим знаменитым математиком Коши.

Первым его учителем и воспитателем был его отец — страстный латинист и ревностный католик.
13-и лет Огюстен Коши был определен в центральную школу. Окончив затем курс математических наук в политехнической школе и получив впоследствии специально инженерную подготовку в школе мостов и шоссе, Коши отправлен был в 1807 г. на инженерные работы.
С 1813 г. он предался исключительно научным занятиям и преподаванию и в 1816 г. был сделан членом института. Многократно ему предлагали различные ученые должности. Коши состоял членом лондонского королевского общества и знаменитейших академий.
Между тем, именно та быстрота, с которою Коши переходил от одного предмета к другому, дала ему возможность проложить в науке множество новых путей.

общем виде для произвольного n доказывается с большим трудом. Доказательства этого неравенства очень сложно понять, в них требуется помнить много деталей. Мы же рассмотрим несколько очень простых способов, с помощью которых можно решить много частных неравенств и задач.

или в которых переменная входит в основание степени с дробным показателем.

(1)

применить неравенство Коши, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел. Напомню:

лишь в том случае, если все числа a1, a2, …, an равны.
В связи с этим часто удобно пользоваться следствиями неравенства Коши:
1. Произведение n положительных величин с данной (постоянной) суммой становится наибольшим, когда все эти величины равны.
2. Сумма n положительных величин с данным ( постоянным) произведением становится наименьшей, когда все эти величины равны.

стороны

, а с другой

Согласно неравенству Коши

Подставив правую часть неравенства в уравнение, получим

=1, из этого следует, что

Значит треугольник прямоугольный. Так как равенство (1) следует, только если a=b, то треугольник ещё и равнобедренный, то есть

Ответ:

Общий метод решения таких задач основан на применении аппарата дифференциального исчисления. Однако решение с помощью производной не всегда является лучшим. В некоторых случаях решение с помощью элементарных приемов проще и изящнее.
Таким приемом, например, является неравенство Коши.

в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Например,

десятичных или только натуральных логарифмов.

Например,

уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим одно из свойств:

Сравнить

Решение:

Рассмотрим

Значит

Мефодия».
Ю. М. Колягин «Алгебра и начало анализа. 10-11 класс».
Сборник Сканави.
Ю.Н. Макарычев «Алгебра. 9 класс».
Н.Я.Виленкин «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Углубленный уровень».