Презентация, доклад по алгебре и началам анализа на тему Понятие интеграла(11 класс)

в высшей математике, которое появилось из-за необходимости измерять объёмы, площади, работу нескольких сил за конкретный промежуток времени, длины дуг и т.д. Термин «интеграл» (от лат. integer — целый, то есть целая, вся — площадь) был предложен в 1696 г. Иоганном Бернулли. 

учёный. Дал полное доказательство теоремы об объёме пирамиды; теоремы о том, что площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. При доказательстве он применил так называемый метод «исчерпывания», который нашёл своё использование (с некоторыми изменениями) в трудах его последователей. Через две тысячи лет метод «исчерпывания» был преобразован в метод интегрирования, с помощью которого удалось объединить самые разные задачи – вычисление площади, объёма, массы, работы, давления, электрического заряда, светового потока и многие, многие другие.

и площадей применял древний учёный Архимед. Успешно развивая идеи своих предшественников, он определил длину окружности, площадь круга, объём и поверхность шара. Он показал, что определение объёмов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объёма цилиндра. Выражаясь современным языком, Архимед определил интегралы

и поэтому применить какую-либо известную формулу объёма нельзя. С помощью взвешивания найти объём также трудно, так как плотность лимона в разных частях его разная. Поступим следующим образом.

радиус основания, которого можно измерить. Объём такого цилиндра вычислить легко по готовой формуле. Сложив объёмы маленьких цилиндров, мы получим приближенное значение объёма всего лимона. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы сможем разрезать лимон.

были предприняты в XVII в., когда, с одной стороны, были достигнуты значительные успехи в области алгебры, а с другой – все более интенсивно развивались экономика, естествознание и техника, требовавшие более общих и мощных математических методов изучения и вычисления величин.

развитию интеграционных метода Архимеда, был Иоганн Кеплер (1571-1630), открывший законы движения планет. Кеплер вычислял площади плоских фигур и поверхностей , объемы тел, основываясь на идее разложения фигур и тел на бесконечное число бесконечно малых частей, которые он называл «тончайшими кружочками» или «частями крайней малой ширины»; из этих мельчайших частиц, суммированных им, он составляет фигуру, эквивалентную первоначальной, но площадь или объем которой ему известен.

тогда Кеплер, и его окрестностей исключительно урожайным, особенно изобиловал виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определять их объемы. Этот вопрос как раз и входил в круг идей, которыми интересовался Кеплер. Так родилась его «Новая стереометрия винных бочек», вышедшая в свет в 1615г.

исчисления, завершенное Ньютоном и Лейбницем, были Дж. Валлис., П. Ферма и Б. Паскаль.


П. Ферма (1601-1665).
Он впервые разбил фигуру
под кривой на малые полоски,
которые можно принять
за прямоугольники.

в середине 60-х годов XVII в., когда двадцатилетний Лейбниц был студентом юридического факультета и математикой еще не занимался.







1646-1716 1643-1727

определенного интеграла и вывели формулу Это и есть так называемая теперь «Формула Ньютона - Лейбница», которая носит название «основной формулы интегрального исчисления». Она позволяет сводить довольно сложное вычисление определенных интегралов, т.е. нахождение предела интегральных сумм, к сравнительно более простой операции отыскивания первообразных.

адаптировал интегральный символ , образованный из буквы S — сокращения слова лат. summa (сумма).

Современное обозначение
определенного интеграла,
с ограничениями над и под
знаком интеграла, были впервые
использованы Жаном Батистом Жозефом Фурье в 1819-20.

площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс).

основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков. Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами Δ x i будет интегральной суммой

функция f(x) имеет неопределённый интеграл.





Жан Гастон Дарбу (1842-1917)

функций. Идея интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения на части по оси Х разбивают интервалы по оси У, что позволяет находить интегралы для объектов, имеющих разную плотность, разрывы, вообще для неоднородных объектов.






Сверху интегрирование по Риману,
снизу по Лебегу
Анри Леон Лебег
1875-1941

в пространстве.
Используется при расчетах работы по перемещению точки под действием механической силы; массы кривой, линейной плотности кривой, координат центра масс, моментов инерции кривой.

они отличаются только областью интегрирования: у двойных интегралов– это не отрезок, а плоская фигура, у тройных - пространственное тело.
Геометрический смысл двойного интеграла

(есть в ЕГЭ!)

интегральная сумма, которая равна площади ступенчатой фигуры; – и, наконец, количество отрезков разбиения устремляется к бесконечности – в результате чего эта фигура превращается в криволинейную трапецию площади


Где f(x) – производная некоторой первообразной функции. Где искать первообразные функций? В таблице в учебнике!