Презентация, доклад к уроку Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке с помощью производной

на промежутке

«Учиться можно только весело…Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом»
Анатоль Франс

Повторить необходимые и достаточные условия существования точек экстремума, понятия: стационарные и критические точки;
Ввести алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, сформировать умение решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения степенной функции на отрезке с помощью производной.
разобрать прототипы задач В12 экзаменационной работы в формате ЕГЭ.
Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

точек.

Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке.

Значит,

наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.

Пусть функция у=f(х) непрерывна на промежутке [а; b] .
Если функция непрерывна на отрезке,то она достигает на нем и своего наибольшего и своего наименьшего значений..

отрезка, так и внутри него.

Предположим, что функция f
имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума.
Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение.


Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

и в этой точке существует производная f' , то она равна нулю: f' (х0) = 0.

Среди критических точек есть точки экстремума

Необходимое условие экстремума

Но, если f' (х0) = 0, то необязательно, что точка х0 будет точкой экстремума. Примеры

[0; 4]

1) y / = 3x2 – 27

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

3) y(0) = 0

Алгоритм решения задач

[0; 4]

1) y / = 3x2 – 27

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

3)

Другой способ решения

min

Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.

Этот способ будет удобно
вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

принадлежат D(у).

Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции.

max

Наибольшее значение функция примет в точке максимума.

значение будет иметь тогда , когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция -х2 - 4х + 5 будет иметь наименьшее значение.
Старший коэффициент квадратного трехчлена равен -1 меньше 0, значит, ветви параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.

Х=4/(-2)=-2

Наибольшее значение функция примет в точке максимума.

+ |1-x| на отрезке [0;4]. Решение: Раскроем модуль и преобразуем нашу функцию: y= x2 - 3x + 5 + 1 - x, при x ≤ 1. y= x2 - 3x + 5 - 1 + x, при x ≥ 1. Тогда наша функция примет вид: f(x)={ x2−4x+6,приx≤1
x2−2x+4,приx≥1
f(x)={ x2−4x+6,приx≤1
x2−2x+4,приx≥1
Найдем критические точки:

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции, для этого вычислим значения функции в стационарных точках и на концах отрезка: Ответ: Функция достигает наименьшего значения в стационарной точке x= 1, yнаим.= 3. Функция достигает наибольшего значения на конце отрезка в точке
x= 4, yнаиб.= 12.

3 4 5 х

y = f /(x)

+ + +
- - -

Задание :

По графику производной функции

указать наибольшую точку максимума функции у = f(x).

У