Презентация, доклад к уроку Геометрическая прогрессия

©Казарина Анастасия, Лысковская Татьяна

Аннотация проекта

Актуальность исследования
(Почему это важно для нас?):

Прогрессии
в старых учебниках по математике

Прогрессии в книгах
по занимательной математике

Выводы и источники информации

an+1=an+d

bn+1=bn ·q

an=а1+d (n-1)

bn = b1qn-1

d = an -а1

q =bn+1:bn

характеристические
свойства

q =bn+1:bn

Прочитав определения
арифметической
и геометрической
прогрессий
можно обратить внимание
на то, что они похожи.
Надо лишь заменить
сложение
умножением.
А зная формулу n-го члена
арифметической
прогрессии,
можно получить
формулу
для геометрической
прогрессии,
если заменить сложение
умножением и умножение –
возведением в степень

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
Решение. Составим математическую модель задачи. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов ( количество промахов) равно 7. Найдем число промахов - n.

Число промахов - 4.
В цель стрелок
попал 21 раз.

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

возрастающая
арифметическая
прогрессия
а1=5, d=5

убывающая
арифметическая
прогрессия
с1=5, d=-5

Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?
Решение. a1 =30, d=5, Sn= 525, n>0.
Sn= (2a1+ d (n-1))n:2; 525= (2·30+ 5 (n-1))n:2; 1050= (60+ 5 (n-1))n;
1050= 55 n + 5n2;
n2 +11 n -210=0, n1=-21, n2=10 (n>0).
Улика достигнет вершины за 10 дней.

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?
Решение. Составим математическую модель задачи: 1400, 1300, …, 1400-100(n-1). a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.
Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;
5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет
10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)
10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили
100 n2-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.
n2-29 n+100=0; n=25, n=4. Ответ: за 4 дня.

За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 условных единиц (у. в.). а за каждое следующее кольцо платили на 2 у. е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено ещё 40 у. е.. Средняя стоимость изготовления и установки кольца оказалась равной 22 и 4/9 у. е.. Сколько колец было установлено?

Решение. а1=26, d=-2.



9n2-41n-360=0,

n1=9, , n - целое число.

Было изготовлено и установлено 9 колец.

При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала падения.
Решение. Составим математическую модель задачи:
впервую секунду 5м,
во вторую секунду 15м,
в третью секунду 25м,
в четвертую секунду 35м,
в пятую секунду 45м.
Всего за пять секунд 5+15+25+35+45=125(м).
Ответ: глубина шахты 125м.

При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала падения.
Решение. Составим математическую модель задачи: а1=5, d=10. а5=а1+4d; а5=45.
S5=(a1+a5)·n:2; S5=(5+45)·5:2=125;
глубина шахты 125м.
Ответ: 125м.

Еще задачи с практическим содержанием

                             .

                             .

                                   .

Последовательность Фибоначчи

11. un+m=un-1um+unum+1 (*)

Этот результат только по внешнему виду отличается от современной формулы:

Общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет в 1484 году.

Историческая справка

Каждой мул тащит 7 мешков- всего 343 мешка

В каждом мешке 7 хлебов - всего 2401 хлеб

У каждого хлеба лежит 7 ножей –всего 16807ножей

Каждый нож нарежет 7 кусков хлеба – всего 117649 кусков хлеба

Еще две старинные задачи

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии

бактерии…

бактерии…

Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.
Решение. В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=
= 4 722 366 482 869 645 213 695.

в сельском
хозяйстве
(для приготовления
силоса, корма
для животных и др.)

в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин)

в коммунальном
хозяйстве и
природоохранных
мероприятиях
(для очистки сточных
вод,ликвидации
нефтяных пятен)

мухи…

одуванчик…

Задачи на прогрессии

Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого

Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого

Решение. a1=40, d=15, Sn=1690. Найти n.
Sn=(2a1+d(n-1))∙n:2; n>0;
1690=(80+15(n-1))∙n:2;
1690=(80+15(n-1))∙n:2;
3380=(65+15n)∙n;
15n2+65n-3380=0;
3n2+13n-676=0;
n1=-52/3; n2=13.
Так как по условию задачи n>0, то n=13.
Работники выкопали колодец глубиной 13 аршин.

Решение. Применим формулы п –го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии получим систему уравнений:
a1-10n-30=0,
a1n+10n-1440=0;
Решив эту систему способом подстановки, найдем n=-16 и n=9. Так как n>0, то приходим к выводу, что свой долг человек вернул за 9 месяцев, отдав в первый месяц 120 рублей.

Решение. Второе тело пройдет за n сек
Sn=(2a1+d(n-1))∙n:2=(2·3+5 ·(n-1))∙n:2= =(1+5n)∙n:2 (фут), а первое тело - 10n фут,
((1+5n)∙n:2+ 10n) фут – расстояние между телами в начальный момент, по условию оно равно 153 футам. (1+5n)∙n:2+ 10n=153. n=6, n=-10,2. Так как n>0, то n=6.
Значит, тела встретятся через 6 секунд.

Решение. Sn=(2a1+d(n-1))∙n:2= =(200+10(n-1))∙n:2=5n2+85n. Сумма внутренних углов многоугольника находится по формуле, известной из геометрии: (n-2)·180.
5n2+95n= 180n-360;
5n2-85n+360=0;
n2-17n+72=0;
n=8, n=9.
Существует два многоугольника, удовлетворяющие условию задачи.

Решение. Найдем путь каждого тела.

St+5-St=724,5; 16,1(t+5)2-16,1t2=724,5;
t=2.
Тела будут друг от друга на расстоянии
724,5 фута через 2 секунды.

Древняя индийская легенда

Это задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.

Список использованных источников