Презентация, доклад к уроку алгебры в 11 классе на тему Применение производной

Леонид Альбертович, г.Минск

точек пересечения графиков a и b (ah(x), при х∈[а; b].
Для нахождения площади полученной фигуры можно пользоваться следующим алгоритмом:

[a; b] функцию f(x)= g(x)−h(x);

3) Вычислить площадь фигуры по формуле:

, где

Разберем несколько примеров применения данного алгоритма.

и y=2+6x – x2.

Решение.
1) Выполняем чертеж;

2) Найдем пределы интегрирования:
x2–2x+2=2+6x–x2, откуда х=0 – нижний предел интегрирования (НПИ) и х=4 – верхний предел интегрирования (ВПИ);

3) Составим подынтегральную функцию: f(x)=2+6x–x2 – (x2–2x+2)=8x–2x2;

x– ⇒ x=−5; в) −2x+9= x− ⇒ x=4.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x+3, y= x– и y= –2x+9.

x

y

0

1

1

2

4

−5

Решение.
1) Выполняем чертеж;

А

В

С

D

Для ΔABD: x=−5 – НПИ ; х=2 – ВПИ.

Для ΔBDС: x=2 – НПИ ; х=4 – ВПИ.

Для дальнейшего решения необходимо разбить полученную фигуру на две части: ΔABD и ΔBCD.

3) f(x)=x+3−( x− )= x+ ; p(x)=−2x+9−( x− )= x+ ;

Значит, Sфигуры=SΔABD+SΔBCD=21 (кв.ед.)

касательными к данному графику, проходящими через точку (2; –10).

1

1

Решение.
1) Выполняем чертеж;

−8

2

−10

Найдем абсциссы точек касания, используя формулу касательной к графику функции y=f(x) в точке х0: y=f'(x0)(x−x0)+f(x0).

y'=4x−8, −10=(4x0−8)(2−x0)+2x0−8x0 ,откуда х0=1 или 3. Построим касательные.

3

Для дальнейшего рационального решения достаточно вывести уравнение только одной касательной, например, АВ: y=−4(х −1)−6, т.е. y=−4х−2. Тогда, при пределах интегрирования х=1 и х=2, площадь половины фигуры равна:

А

В

С

Значит, площадь всей фигуры равна:

Её левая (х=а) и правая (х=b) вертикальные границы являются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. А подынтегральной функцией является данная функция y=f(x) (в случае f(x)>0, при х∈[a; b]) или y=−f(x) (в случае f(x)<0, при х∈[a; b]).

y=f(x)

x

y

x

y

0

0

y=f(x)

a

b

a

b