Презентация, доклад по геометрии на тему: Пирамида

фигуры! Сколько тайн хранят они в себе! С самого детства я задумывалась об этом. Они манили меня к себе своей таинственностью. Когда я пошла в десятый класс, мы начали изучать стереометрические фигуры и, конечно, затронули тему «Пирамида». Мне стало очень интересно, и я решила изучить свойства этой необычной фигуры немного подробнее, ведь тема «Пирамиды» затрагивает глубокие аспекты современных научных дисциплин и является одной из наиболее актуальных для пытливых умов современных ученых. Пирамиды представляют интерес для математиков, историков, физиков, биологов, медиков, философов. Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Хотя не стоит забывать и о том, что пирамиды таят в себе ответы на огромное количество вопросов, которыми сейчас задается наука.
Пирамиды, несмотря на свою древность, могут многому нас научить. Исследованием пирамид с использованием новейших приборов занимались американцы, японцы. Пирамиды снимали со спутников. Американская станция "Маринер"' передала фотографии с Марса, на которых изображены такие же пирамиды, что наводит на мысль об их внеземном происхождении. Так что же такое пирамиды?

Введение.

точки , не лежащей в плоскости основания, –вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания называются боковыми ребрами.
Пирамида может быть получена при пересечении многогранного угла произвольной плоскостью. Ее вершиной будет служить вершина многогранного угла, основанием – сечение многогранного угла данной плоскостью, боковыми ребрами – отсеченные части ребер многогранного угла.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

"Пирамида"

В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечение плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.
Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью.





∆SEF – сечение пирамиды SABCD




∆SDB – диагональное сечение пирамиды SABCD

Диагональные сечения пирамиды

вершины пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Следовательно, все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Высота каждая из этих треугольников называется апофемой. Все апофемы правильной пирамиды равны. Боковые ребра и боковые грани правильной пирамиды имеют один и тот же угол наклона к плоскости основания.

"Правильная пирамида"

основания, приложить друг к другу так, чтобы их основания совпали, то получится правильный многогранник – октаэдр. Форму октаэдра имеет кристалл алмаза.

Четыре атома водорода , входящие в молекулы метана, расположены в вершинах правильной пирамиды (тетраэдра). Атом углерода находится внутри этой пирамиды на равном расстоянии от ее вершин.

Примеры "Правильной пирамиды"

на апофему.

Дано :правильная пирамида.
Доказать,что S боковой
поверхности равна 1\2
P основания на апофему.


Решение.
Боковые грани правильной пирамиды-равные равнобедренные треугольники , основания которых-стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме.S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы а .Вынося множитель 1\2 а за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды ,т.е. его периметр .Ч.т.д.

Доказательство теоремы

на апофему.(рис.9б)

Где P-периметр основания пирамиды, а
h-апофема

Теорема: Площадь полной поверхности пирамиды (рис.9а) вычисляется по формуле:
Sполн = Sбок + Sосн

Площадь пирамиды

Sбок = 0.5Рh

а

б

высоту.
V = 1/3∙SH
Где S-площадь основания пирамиды
H - высота пирамиды

Измерение обьема пирамиды

от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды подобные многоугольники, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани – трапеции.
Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого основания. Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, не лежащих в одной грани, называется диагональным.
Чтобы построить усеченную пирамиду, сначала намечают карандашом полную пирамиду, проводят сечение, параллельное основанию, проводят ребра усеченной пирамиды, а верхнюю часть стирают.

Усечённая пирамида

грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой.

Правильная усечённая пирамида

оснований на апофему.

Дано: n-угольная правильная усеченная пирамида,
l – апофема, P и P1 – периметры оснований.
Доказать: Sбок = ½(p+p1) ∙l


Решение.
В правильной усеченной пирамиде все боковые грани – равные между собой трапеции. Пусть основания трапеции a и a1, ее высота k, тогда Sгр. = ½(a + a1)∙l, таких граней n,
следовательно, Sбок = n ½ (a + a1) l = ½ (na + na1)∙l, т.е. Sбок = ½ (P+P1)∙l. Ч.т.д.

Площадь боковой и полной поверхности усечённой пирамиды

Где S1, S2 – площади оснований (S1>S2)
H - высота усеченной пирамиды

Измерение обьема усеченной пирамиды

имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой ≈ 150 м и боковым ребром ≈ 220 м. Найдите объем и площадь боковой поверхности этой пирамиды.

2. Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5 м × 4,5 м и углом наклона грани к основанию в 45˚. Сколько листов железа размером 70 см × 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?

Задачи

4,5 м SCO = 45˚; размеры листа: 70 см × 140 см; отходы: 10%
Найти: N
Решение:

N = (Sбок + S отх )/ S листа
Sбок = 4∙S∆CSD =4 ½ CD∙SK = 2CD∙SK
Рассмотрим. ∆SOC (O = 90˚; С = 45˚)
т.к. сумма углов в треугольнике равна 180˚,то S = 180˚ – 90˚ – 45˚ = 45˚ → SO = OC
т.к. ABCD – правильный четырехугольник, то OK = CD/2 = 4,5/2 = 2, 25 (м)
Рассмотрим. ∆OKC (K = 90˚; OK = CK)
По теореме Пифагора: OC = √2OK2 = √2∙5, 0625 ≈ 3, 2 (м) → SO = 3, 2 (м)
Рассмотрим. ∆SOK (O = 90˚)
По теореме Пифагора: SK = √SO2 + OK2 = √10, 24 + 5, 0625 = √15, 3 ≈ 3, 9 (м)
Sбок = 2∙4, 5∙3, 9 = 35, 1 (м2)
S отх = Sбок∙0, 1 = 35, 1∙0, 1 = 3, 51 (м2)
S листа = 0, 7∙1, 4 = 0, 98 (м2)
N = (35, 1 + 3, 51)/0, 98 = 40
Ответ: 40 листов

1. Дано: SABCD – правильная четырехугольная пирамида; SO – высота; SO = 150 м; SA – боковое ребро; SA = 220 м;
Найти: VSABCD; Sбок
Решение:

V = 1/3SABCDSO; Sбок = p∙SK/2
Рассмотрим. ∆SOC (O = 90˚)
По теореме Пифагора: OC = √SC2 – SO2 = √2202 – 1502 = √48400 – 22500 = √25900 (м) ≈ 161 м
т.к. ABCD – правильный прямоугольник, то: AB = OC√2 = √25900*2 = √51800 (м) ≈ 228 (м)
Рассмотрим. ∆ SCD (SC = CD = SD)
CK= ½ CD; CK = 228/2 = 114 (м)
Рассмотрим. ∆SKC (K = 90˚)
По теореме Пифагора: SK = √SC2 – CK2; SK = √2202 – 1142 = √48400 – 12996 = √35404 ≈ 188 (м)
Периметр основания: p = 4∙228 = 912 (м)
Находим Sбок = 4∙228∙114/2 = 51984 (м2)
Sосн = AB2; Sосн = 2282 = 51984 (м2)
Находим V= 1/3SABCDSO = 1/3∙51984∙150 = 2599200 (м3)
Ответ: 51984 м2; 2599200 м3.

Решение задач

Барыбин Н.А. Геометрия: Учебник для 10 – 11, М.: Просвещение, 1986.
3.   Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11, 5-е изд. М: Просвещение, 1996.
4.   Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Просвещение, 1985.
5.   Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. XI класс. М.: Просвещение, 1991.
6.  Атанасян Л.С. Геометрия: Учебник для 10-11, 16-е изд.М: Просвещение,1992.

Список использованной литературы

см, а один из катетов-9 см.Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию.
13,5см² 27 см² 108 см²

№2 В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, а апофема -15 см.Найдите боковое ребро пирамиды.
3 √ 34 см 34 см 12см 34 см 12см 9 √ 34

№3 В правильной четырехугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.
60˚ 30 ˚ 15 ˚

тест

апофема – 15 см .Найдите боковое ребро пирамиды.
3 √ 21см 21см 3√ 21см² 3 √ 29см

№5 Найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию , если стороны основа В правильной четырехугольной пирамиде стороны основания равна а 3а ² 3а√ 3 3 4а √ ½

№6 Найдите боковую поверхность пирамиды ,если площадь основания равна S,а двугранные углы при основании равны а.
SсмSсм S\cosα см см cosα см

тест

высота – 12 см .Найдите площадь полной поверхности пирамиды
360см² 230см ² 140 см ²

№8 Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4 √ 6 см и высотой 5 см.Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см.Найдите ее высоту.
12 см ≈13см ≈13см 5,2см

№9 Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.
13 дм ² 13 дм 13 дм 26 дм ²

тест

Ты усвоил эту тему!

Пройти следующий тест.(1,2,3)

Верно

Пройти следующий тест.(4,5,6)

тему!

Верно

Пройти следующий тест(4,5,6)

Пройти следующий тест(7,8,9)

усвоил эту тему!

Верно

Пройти следующий тест(7,8,9)

Пройти тест сначала!