Презентация, доклад о понятиях и теоремах комбинаторики, а также о методике её изучения

в содержание математического образования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания образования, так как роль этих знаний в современном мире повышается.
Основными целями изучения курса являются следующие:
Способствовать формированию и развитию умений решения комбинаторных задач, позволяющих ученикам разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитать всевозможные комбинации элементов, составленных по определённому правилу;
Способствовать формированию и развитию вероятностного мышления, вероятностной интуиции;
Способствовать развитию творческих способностей и дарований;
Создать условия для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания;
Создать условия для расцвета личности школьника с учётом его возрастных особенностей.

способность обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;
умение контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности;
критичность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.

результатами, осуществлять контроль своей деятельности
умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации;
умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы;
умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме, принимать решение в условиях неполной или избыточной, точной или вероятностной информации;
умение понимать и использовать математические средства наглядности (графики, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики, проводить классификации, логические обоснования;
2) владение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания;
3) практически значимые математические умения и навыки, их применение к решению математических и нематематических задач, предполагающее умения:
решать комбинаторные задачи;
проводить вычисления статистических характеристик;
решать задачи по теории вероятности.

Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве
1. Правило произведения
2. Правило суммы и формула включений и исключений
3. Перестановки
4. Перестановки с повторениями
§ 2. Сочетания и размещения
§ 3. Комбинаторные соотношения
Глава. Элементы теории вероятностей
§ 1. Основные понятия теории вероятностей
1. Множество элементарных исходов эксперимента
2. События и действия над ними
3. Классическое определение вероятности
4. Геометрическая вероятность

§ 2. Сложение вероятностей
§3. Условная вероятность. Независимость событий
1. Условная вероятность
2. Формула умножения вероятностей
3. Независимые события
4. Формула полной вероятности
§ 4. Формула Бернулли
§5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики
1. Понятие случайной величины
2. Функция распределения и числовые характеристики случайной величины
3. Биномиальное распределение

определяет поведение человека, и курс должен формировать соответствующие практические ориентиры, вооружать учащихся, как общей вероятностной интуицией, так и конкретными способами оценки данных.
Дети должны научиться извлекать, анализировать и обрабатывать разнообразную, порой противоречивую информацию, принимать обоснованные решения в ситуациях со случайными исходами, оценивать степень риска и шансы на успех.
Необходимость формирования вероятностного мышления обусловлена и тем, что вероятностные закономерности универсальны: современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, весь комплекс социально-экономических наук развивается на базе вероятностно-статистической математики.

изучение влияет на развитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект курса математики, способствует развитию интереса к предмету.
Введение элементов статистики и теории вероятностей в содержание математического образования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания образования, так как роль этих знаний в современном мире повышается.

результате обучения данной темы ученик должен уметь:
проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений;
извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения;
вычислять средние значения результатов измерений;
находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;
находить вероятности случайных событий в простейших случаях.

темы ученик должен использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
выстраивания аргументации при доказательстве (в форме монолога и диалога);
распознавания логически некорректных рассуждений;
записи математических утверждений, доказательств;
анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;
решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости;
решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;
сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;
понимания статистических утверждений.

образование)

В результате обучения данной темы учащийся должен
Уметь:
1)решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля;
2) вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов (простейшие случаи);
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера.

деятельностного подхода;
2. Предметно-ориентированные технологии:
Технология проблемного обучения;
Технология обучения на основе поэтапного формирования умственных действий.

требуется перечислить все решения
Пример. Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.
2. Задачи, состоящие в требовании выделить из всех возможных решений такое, которое удовлетворяет заданному дополнительному требованию
Пример. Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс - то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?

требуется подсчитать число решений
Примеры:
1) Сколькими способами можно расположить в электрической цепи 7 различных приборов?
2) Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков?
3) Сколько разных типов гамет может дать гибрид, гетерозиготный по 3 независимым признакам?
4) Три друга - Антон, Борис и Виктор - приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?

Задачи на непосредственное применение комбинаторных правил произведения и суммы.
Примеры:
1. Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?
2. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?
3. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске черный и белый квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?
4. Имеется 20 тетрадей в линейку и 30 тетрадей в клетку. Необходимо выбрать две тетради одного вида. Сколько способов выбора двух тетрадей возможно, если учитывается порядок выбора тетрадей?

этапа в зависимости от времени обучения и методов подсчета:
подсчет методом непосредственного перебора;
подсчет с использованием комбинаторных принципов;
подсчет с использованием формул комбинаторики.

в которую входят четыре человека - Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?
1) Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.
2) Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.
3) Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входит Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.
4) Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже составлены.
5) Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.
6) Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов. Тут же необходимо пояснить учащимся, что в данном примере нам не важен порядок выбора пары: Антонов и Григорьев или Григорьев и Антонов, и привести пример задачи, где учитывается порядок элементов в комбинации.
Ответ: 6

можно составить из 33 букв русского алфавита при условии, что любые две стоящие рядом буквы различны (например, слово «корова» допускается, а слово «колосс» нет)?
Решение:
При этом, разумеется можно писать бессмысленные слова. В этом случае на первое место у нас 33 кандидата. Но после того, как первая буква выбрана, вторую можно выбрать лишь 32 способами - ведь повторять первую букву нельзя. На третье место тоже 32 кандидата - первую букву уже можно повторить, а вторую - нельзя. Также убеждаемся, что на все места, кроме первого, имеется 32 кандидата. А так как число этих мест равно 5, то получаем ответ 33•32•32•32•32•32=1107396236.
Ответ: 1107396236

общественного питания (составление меню)
лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
география (раскраска карт)
спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)
агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)
криптография (разработка методов шифрования)
доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)
биология (расшифровка кода ДНК)
военное дело (расположение подразделений)
астрология (анализ расположения планет и созвездий).

целом— изучить вопросы, непосредственно примыкающие к курсу математики, на более высоком уровне обобщения.
Направленность курса комбинаторики - формирование профессиональной компетентности студентов, которое предполагает всестороннее изучение материала с глубоким научным обоснованием, так как знания не только гарантируют владение основными фактами стохастики, но и способствуют формированию умения свободно оперировать материалом, стимулируют творческое отношение к приобретаемой профессии, способствуют формированию самостоятельности будущего специалиста, его вероятностно-статистической культуры.

естественно-научный учебный цикл
Базовая часть
В результате изучения базовой части цикла обучающийся должен:
знать:
основные способы математической обработки информации;
уметь:
применять естественнонаучные знания в учебной и профессиональной деятельности;
владеть:
основными методами математической обработки информации.

Вариативная часть (знания, умения, навыки) определяется Основной Образовательной программой вуза в соответствии с профилем подготовки.

КОМБИНАТОРИКА Учебное пособие )

1 раздел. Основные понятия и теоремы комбинаторики
1.1. Размещения с повторениями
1.2. Размещения без повторений
1.3. Перестановки без повторений
1.4. Перестановки с повторениями
1.5. Основные правила комбинаторики
1.6. Главная теорема комбинаторики (Теорема о включениях и исключениях)
1.7. Сочетания без повторений
1.8. Сочетания с повторениями .
1.9. Свойства чисел сочетаний

1.10. Комбинаторные задачи с ограничениями
1.11. Задачи о смещениях (о беспорядках)
1.12. Частный случай теоремы о включениях и исключениях
1.13. Задача о караване
1.14. Комбинаторика разбиений
1.15. Количество делителей числа N
1.16. Раскладка предметов в несколько ящиков
1.17. Задача: Флаги на мачтах
1.18. Задача: Покупка билетов
1.19. Рекуррентные соотношения в комбинаторике

КОМБИНАТОРИКА Учебное пособие )

2 раздел. Связь комбинаторики с другими разделами дискретной математики и техническими приложениями
2.1. Теория групп
2.2. Теория вероятностей
2.3. Криптография
2.4. Экономика
2.5. Теория информации
2.6. Распознавание образов
2.7. Теория графов

компетенциями (ОК):
владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);
способен логически верно излагать устную и письменную речь (ОК-6).

включать текущий контроль успеваемости, промежуточную аттестацию обучающихся и итоговую государственную аттестацию выпускников. Конкретные формы и процедуры текущего и промежуточного контроля знаний по каждой дисциплине разрабатываются вузом самостоятельно и доводятся до сведения обучающихся в течение первого месяца обучения.
Для аттестации обучающихся на соответствие их персональных достижений поэтапным требованиям создаются фонды оценочных средств, включающие типовые задания, контрольные работы, тесты и методы контроля, позволяющие оценить знания, умения и уровень приобретенных компетенций.

Предметно-ориентированные технологии обучения:
Технология модульного обучения

КОМБИНАТОРИКА . Учебное пособие )

комбинаторные задачи с ограничениями;
комбинаторные задачи раскладок и разбиений;
комбинаторные задачи, решаемые с помощью рекуррентных соотношений.

5 львов и 4 тигра. Необходимо их расставить в ряд, но при этом известно, что тигр не может идти спокойно за тигром.
Тогда расставляем львов с промежутками (их будет 6) и в них вставляем тигров. Таким образом, если тигры и львы обезличенные, то


В общем случае при n львах и k тиграх имеем:
2. Задача о книжной полке.
Из m книг, стоящих на полке, нужно выбрать k таких, которые не стояли рядом на книжной полке.
Отберем сразу k книг, останется n–k. Их расставим с промежутками (n–k+1 промежуток). На эти места вставим k книг.
Общее решение:

имеется способов раздела яблок между ними?
Решение: Напишем 40 единиц и 2 нуля, выполняющих функции разделителя, и затем начнём их переставлять всеми различными способами. Каждой перестановке будет соответствовать некоторый способ раздела яблок на 3 кучки. Каждому способу раздела будет соответствовать некоторый код, содержащий 40 единиц и 2 нуля. Поэтому количество способов раздела:

марки достоинством в 4,6 и 10 копеек. На конверт нужно наклеить марки так, чтобы сумма составляла 18 копеек.
Решение: Будем считать, что порядок наклеиваемых марок важен, т.е. способы наклейки марок достоинством в 4,10,4 копейки и 10, 4, 4 копейки разные способы. Тогда можно написать следующее рекуррентное соотношение:
где под F(N) понимается количество вариантов наклейки марок общей стоимостью N. Подсчитаем значения F(N) для некоторых начальных N:

совпадает с практической значимостью рассматриваемого раздела в профильной школе.
В настоящее время комбинаторика, теория вероятностей и статистика завоевали очень серьезное место в науке и прикладной деятельности.
Идеи, методы и результаты теории вероятностей, статистики, комбинаторики не только используются, но буквально пронизывают все естественные и технические науки, экономику, планирование, организацию производства и др.