Презентация, доклад на тему Вписанная и описанная окружность в текстах ЕГЭ

математики МБОУ СОШ №20 Турова Н.В.

(+похожие задачи)

С4 Сборник 30 вариантов
+800 заданий

KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в ALM.

Случай 1: LM параллельно KN.
1.) ВД, ЕС-средние линии ΔKLM, ΔLMN :ВД=ЕС=½ LM
2.) BC-средняя линия трапеции:
ВС=ВД+ДЕ+ЕС; BC=½(LM+KN)
24=½LM+12+½LM; 24=½(12+KN)
LM=12 ; KN=36
3.) ΔALM подобен ΔAKN
AL:AK=AM:AN=LM:KN
AL:(AL+10)=⅓; AM:(AM+26)=⅓
AL=5; AM=13.

r=2

Случай 2: LM – нижнее основание, KN – верхнее основание.
ΔALM подобен ΔAKN, k=3 (аналогично 1 случаю)
Доказательство:








Ответ: 2;6

радиуса 12. Известно, что АВ=6, ВС=4. Найти АС. Решение:

Случай 1: Угол ACB острый. По теореме синусов.

тогда Ответ:

Задача С4 (ЕГЭ 2012 запад). В ∆ABC известны AB=5, BC=6, AC=7. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в ∆ABC. Найдите длину отрезка KL.

тогда отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне ∆АВС.

Случай 1: Пусть обе точки K и L лежат на сторонах ∆АВС.
1.)AKLC-вписанный 4-хугольник, тогда

подобен ( по двум углам)
с K-коэффициентом подобия.

2.)AKLC-описанный 4-хугольник, тогда
AK+LC=KL+AC, AB(1-k)+CB(1-k)=(1+k)AC,

(вписанные, опираются на дугу AL).
2.) ∆АВС подобен ∆LBK ( по двум углам ) и описаны вокруг одной и той же окружности, следовательно k=1.
3.) ∆АВС = ∆LBK , тогда KL=AC=7.
Случай 3: Точка L лежит на продолжении
стороны ВС, тогда BL>BC. .
Аналогично предыдущему случаю k=1. Тогда
BL=AB продолжении стороны ВС. Этот случай
невозможен.
Ответ:

высота , опущенная на боковую сторону, равна 24. Внутри треугольника расположены две равные, касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найти радиусы окружностей.

Случай 1:∆АВС-равнобедренный,
1.) Из ∆АЕС

2.) Из ∆BHС

3.) Из ∆AMQ




4.) ∆AMQ= ∆PNC ( по катету и
противолежащему углу), тогда AQ=PC;
MNPQ-прямоугольник, QP=2r.
5.) AC=AQ+QP+PC

то QP=MN=2r.
2.) AB=AQ+QP+PB






Ответ:

и CN, Y-центр вписанной окружности. Известно, что ВС=24, MN=12. Найдите радиус окружности, описанной около ΔBYC.

Случай 1: ΔАВС-остроугольный.
1.) Т. к. Y-центр описанной окружности, то




2.)По теореме синусов


3.)Т. к. ВМ и CN- высоты ΔАВС, то ΔAMN подобен
ΔАВС
C
4.)

По теореме синусов Ответ:

Утверждение: Если СК и ВМ- высоты ΔАВС, то ΔАВС подобен ΔАКМ с

Доказательство: ΔАВС- остроугольный.
1.) Т.к. СК и ВМ- высоты ΔАВС, то из точки К и М сторона ВС видна под прямым углом. Следовательно, точки М,К,С,В лежат на окружности с диаметром ВС.
2.) ΔАСК подобен ΔАВМ по двум углам.


(свойство углов вписанного 4-хугольника).
3.) ΔАМК подобен ΔАВС ( по двум углам) с

(типовые задания С4) Прокофьев А.А., Корянов А.Г.
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ 2012 (варианты Восток, Запад.)
Сборник ЕГЭ 2012. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2(С)/ И. Р. Высоцкий, П.И.Захаров и др. /Под ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко.-2012 год.
Подготовка к С4 Вписанные и описанные окружности Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем© Учебный центр «Азъ», 2012
Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С4/ Под ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. Разработано МИОО, 2010 год.