Презентация, доклад на тему Учебная презентация по теме Касательная к окружности

p

Прямая пересечёт окружность в 2-ух точках – концах диаметра, лежащего на этой прямой

p

1.

d < r

p

1.

d < r

Докажем, что прямая p и окружность не имеют других общих точек.

Метод от противного:
Пусть ∃ т. C: (С∈ω) ∧ (С ∈ p)
ΔOAC: (OD – медиана)∧(D∈AC)
⇒OD ⊥ p
Т.О. из точки О проведены 2 перпендикуляра к прямой p - Противоречие

d < r ⇒ прямая и окружность имеют две общие точки

2.

d = r

Докажем, что прямая p и окружность не имеют других общих точек.

M ∈ p

OM > OH=r
(наклонная OM больше перпендикуляра OH)
⇒ M ∉ ω

d = r ⇒ прямая и окружность имеют только одну общую точку

3.

d > r

d > r ⇒ прямая и окружность не имеют общих точек

Теорема (свойство касательной)
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Дано:
ω (O, r), p – касательная, А – точка касания
Доказать: p ⊥ OA

Доказательство:
Метод от противного
Пусть p не перпендикулярна OA
ОА наклонная к прямой p
∃ OH ⊥ p ⇒ OH < OA = r
Прямая p и окружность ω имеют 2 общие точки – ПРОТИВОРЕЧИЕ!
p ⊥ OA
ЧТД

О

В

С

А

1

2

3

4

AB и AC – отрезки касательных, проведенных из точки А

Дано: ω (O, r),
АВ и АС – отрезки касательных из точки А
Доказать: (AB = AC) ∧ (∠3 = ∠4)

Доказательство:
∠1 = ∠2 = 90° - по свойству касательной ⇒ ΔABO и ΔACO прямоугольные
(OA = OA) ∧ (OB = OC = r) ⇒ ΔABO и ΔACO ⇒ (AB = AC) ∧ (∠3 = ∠4)

ЧТД

Дано:
ω (O, r),
OA = r, A∈ p, p ⊥ OA

Доказать: p - касательная

Доказательство:
(p ⊥ OA) ∧ (OA = r) ⇒ прямая и окружность имеют только одну общую точку ⇒ p - касательная
ЧТД

Построение:
(OА)
p: (A∈ p) ∧ (p ⊥ OA)
p - касательная

III. Решение задач