Презентация, доклад по теме равенство прямоугольных треугольников

о
прямоугольном треугольнике

Практическая значимость:
при решении олимпиадных задач мне не хватает знаний
по геометрии;
хочу расширить свои знания, про признаки
прямоугольного треугольника.

прямой, и трёх отрезков,
соединяющих эти точки.
Если один из углов треугольника прямой,
то треугольник называется
прямоугольным.
Сторона прямоугольного треугольника,
лежащая против прямого угла, называется
гипотенузой, а две другие – катетами.

Определения

гипотенуза

катет

катет

угол, лежащий против катета, равного
половине гипотенузы, равен 300
– в равнобедренном прямоугольном
треугольнике острые углы равны по 450
Свойства сторон:
– катет всегда меньше гипотенузы
– катет, лежащий против угла в 300,
равен половине гипотенузы.

Свойства прямоугольного треугольника

гипотенуза

катет

катет

взятых в каждом треугольнике. Для прямоугольных же треугольников достаточно двух элементов. Итак, два прямоугольных треугольника равны, если
катеты одного из них, равны катетам другого;
гипотенуза и острый угол одного из них равны гипотенузе и острому углу другого;
катет и острый угол одного из них равны катету и острому углу другого.

Признаки равенства прямоугольных
треугольников

гипотенуза

катет

катет

равны катетам другого, то такие
треугольники равны.

∆ АВС – прямоугольный,
∆ А1В1С1 – прямоугольный,
ВС = В1С1, АС = А1С1

Дано:

С

С1

А

А1

В

В1

∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказать:

следует из первого признака равенства треугольников
(по двум сторонам и углу между ними).

Доказательство:

к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.

Дано:

С

С1

А

А1

В

В1

∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказать:

следует из второго признака равенства треугольников
(по стороне и прилежащим к ней углам)

Доказательство:

∆ АВС – прямоугольный,
∆ А1В1С1 – прямоугольный,
АС = А1С1 , ∠А=∠А1

угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Дано:

С

С1

А

А1

В

В1

∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказать:

Доказательство:

∆ АВС – прямоугольный,
∆ А1В1С1 – прямоугольный,
АВ = А1В1 , ∠А=∠А1

т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим к ней углам).

одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Дано:

С

С1

А

А1

В

В1

∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказать:

Доказательство:

∆ АВС – прямоугольный,
∆ А1В1С1 – прямоугольный,
АВ = А1В1 , АС = А1С1 .

Наложим ∆ А1В1С1 на треугольник ∆ АВС. Т.к. АС = А1С1 и АВ = А1В1, то они при наложении совпадут. Тогда вершина А1 совместиться с вершиной А. Но и тогда и вершины В1 и В также совместятся. Следовательно, треугольники равны.

гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Дано:

С

А

В

АВ2= ВС2+АС2

Доказать:

Доказательство:

∆ АВС, ∠С=90°

Наложим ∆ А1В1С1 на треугольник ∆ АВС. Т.к. АС = А1С1 и АВ = А1В1, то они при наложении совпадут. Тогда вершина А1 совместиться с вершиной А. Но и тогда и вершины В1 и В также совместятся. Следовательно, треугольники равны.

b

a

с

стороной с

b

a

с

с

с

с

стороны ВС – отрезок ВК, ВК= b
CF=AF+AC=a+ b, CK=BC+BK=a+ b, то есть CF=CK=a+ b
Через точки F и K проведём прямые, параллельные катетам:
FP║CK, KP║CF
Четырёхугольник CFPK — параллелограмм (по определению).

b

a

с

с

с

с

F

K

P

a

a

b

b

b

со стороной a+в.
Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то S CFPK = (a+b)2
С другой стороны, площадь CFPK равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников с катетами b и c и квадрата со стороной c.
Площадь прямоугольного треугольника равны половине произведения его катетов:
S ∆ АВС=1/2 ВС·АС=1/2 а b
площадь квадрата со стороной c равна c².
Следовательно, S CFPK =4·1/2 а b+с2= 2 а b+с2
Приравняем правые части формул площади CFPK: 2 а b+с2= (a+b)2
Имеем: 2 а b+с2= a2 +2 а b+ b2
После упрощения получаем: c²= a2 +b 2
то есть, АВ2=ВС2+АС2
Что и требовалось доказать.
Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты чаще всего обозначаются как a и b , а гипотенуза — как c, то формула теоремы Пифагора обычно записывается именно так: c² = a2 + b 2

2 вариант