Презентация, доклад на тему Тема : Разные способы доказательства теоремы Пифагора

способы доказательства
теоремы Пифагора»

Участники проекта:
1.Беляков Андрей-ученик 9 класса

2.Алексеева Наталья-ученица 9 класса

Руководитель проекта:

Кондратьева Л.А.-учитель математики

д. Лаголово
Ломоносовский район
2014 год

Пифагора по косинусу
Доказательство теоремы Пифагора по площади
Векторное доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора по Басхари
Доказательство теоремы Пифагора методом Гофмана и Мёльманна
Наиболее привычный способ доказательства теоремы Пифагора
Геометрическое доказательство методом Гарфилда
Доказательство теоремы Пифагора методом достроения
Доказательство теоремы Пифагора по Евклиду
Пифагоровы тройки
Применение теоремы Пифагора
Заключение
Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ: На протяжении многих лет людей интересовал вопрос о теореме Пифагора и о различных способах её доказательства. Причина такой популярности теоремы: это простота , красота и широкая значимость. В современных школьных учебниках рассматриваются традиционные доказательства теоремы Пифагора. Это - алгебраическое доказательство, основанное на площади (применяется в учебнике «Геометрия 7-9»,Л. С. Атанасян), доказательство Евклида (рассматривается в учебнике «Геометрия: Учебник для 6-9 классов средней школы»,А.П.Киселёв. Постепенно, появлялись новые способы доказательства теоремы… АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ: В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДАННОГО ПРОЕКТА: • Рассмотреть классические и малоизвестные доказательства теоремы, такие как доказательства Гарфилда, Басхари, векторное доказательство теоремы и т.д. • Познакомиться с историей открытия теоремы • Изучить области применения теоремы • Сделать выводы о значении теоремы Пифагора При работе с проектом были использованы различные источники: 1.Учебно-методическая газета Математика, автор: Г.Остренкова,  где рассматриваются сведения о жизни Пифагора, а также материал о Пифагоровых тройках. 2. Книга М.В.Ткачевой «Домашняя математика»  3. Интернет- ресурсы, в частности следующие сайты: http://bankreferatov.ru/ (с данного сайта использована основная информация о значении теоремы Пифагора), http://kvant.ru/ (здесь представлена статья об истории открытия теоремы Пифагора) , http://th-pif.narod.ru/formul.html (на данном сайте содержится информация о способах доказательства теоремы).

ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА: Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна. В настоящее вре-мя установлено, что эта величайшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение первой книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. Так, оптимист Михаил Ломоносов (1711--1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». А вот ироничный Генрих Гейне (1797—1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам». Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII —V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.—и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

БИОГРАФИЯ ПИФАГОРА:  Пифагор родился на острове Самос, одном из самых цветущих островов Ионии, в семье богатого ювелира. Ещё до рождения он был посвящен своими родителями свету Аполлона. Он был очень красив и с детства отличался разумом и справедливостью. С юных лет Пифагор стремился проникнуть в тайны Вечной Природы, постичь смысл Бытия. Знания, полученные им в храмах Греции, не давали ответов на все волнующие его вопросы, и он отправился в поисках мудрости в Египет. В течение 22 лет он проходил обучение в храмах Мемфиса и получил посвящение высшей степени. Здесь же он глубоко изучил математику, “науку чисел или всемирных принципов”, из которой впоследствии сделал центр своей системы. Из Мемфиса, по приказу вторгшегося в Египет Камбиза, Пифагор вместе с египетскими жрецами попадает в Вавилон, где проводит еще 12 лет. Здесь он имеет возможность изучить многие религии и культы, проникнуть в мистерии древней магии наследников Зороастра. Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

определению косинуса

Аналогично:
Cos β=BD:BC=BC:AB

Складывая полученные равенства почленно, и отмечая, что
АС 2+BС 2=AB(AD+DB)=AB2

чтд

На главную

с площадями S1 и S2.

Площади треугольников относятся как
Квадраты их гипотенуз.

Доказательство теоремы Пифагора по площади

НО!

чтд

На главную

вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b + c = a откуда имеем c = a - b возводя обе части в квадрат, получим c²=a²+b²-2ab Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда c²=a²+b² или c²=a²+b² Теорема Пифагора снова доказана. Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.

Басхари Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ!

прямым углом С

Построим BF=CB, BF⊥CB

Построим BE=AB, BE⊥AB

Построим AD=AC, AD⊥AC

Точки F, C, D принадлежат одной прямой.

Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики.

Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2а2+1/2b 2=1/2с 2

чтд

Соответственно: а2+ b 2 =с 2

Мёльманна

Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5ab, с другой 0.5pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r = 0.5(a+b-c)).

Имеем:
0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c)
Отсюда следует , что
с2=а2+b2

чтд

На главную

равны исходному, поэтому также являются равнобедренными и прямоугольными

отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.
2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: SABED=2×AB×AC/2+BC²/2
3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:
S ABED=((DE+AB)/2)×AD
4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:
 
AB×AC+BC²/2=(DE+AB)(CD+AC)/2
AB×AC+BC²/2= (AC+AB)²/2
AB×AC+BC²/2= AC²/2+AB²/2+AB×AC
BC²=AB²+AC².

построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.
На рисунке изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC
с построенными на его сторонах  квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику.














Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь CОEP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.

во втором случае.
Рисунок иллюстрирует доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PCL – прямая;
KLOA = ACPF = ACED = a2;
LGBO = CBMP = CBNQ = b2;
AKGB = AKLO + LGBO = c2; отсюда  c2 = a2 + b2.

с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим

c2 = a2 + b2.
ч.т.д.

продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат
На два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих
Квадратов, построенных на катетах.
1) Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH.
Треугольник ABD=BFC (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD;
угол FBC=углу ABD).

НО!

BJLD общее основание BD и общая высота LD

АНАЛОГИЧНО, S треугольника FBC=1/2 S прямоугольника ABFH(BF-общее Основание, AB-общая высота). Отсюда, учитывая, что S треугольника ABD =S треугольника FBC, имеем: S BJLD=S ABFH.
АНАЛОГИЧНО, используя равенство треугольников BCK и ACE, доказывается, что S JCEL=S ACKG.
S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED.

S треугольника=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD

чтд

На главную

и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x² + y²= z² ). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. .. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики. Поскольку уравнение x² + y² = z² однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x,y,z — взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52).
Некоторые Пифагоровы тройки: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)… Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.

техники, в практической жизни. Область применения теоремы достаточно обширна. Применяется в литературе, мобильной связи, архитектуре (индийцы, например, использовали ее для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта), а также в астрономии. Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Воз­никла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означа­ет «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще раньше с ее помощью научились измерять вообра­жаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями. О теореме Пифагора писали в своих произведениях писатели Плутарх, инженер Витрувий, греческий ученый Диоген, математик Прокл. Не всякое математическое положение удостаивается такого внимания поэтов и писателей.

дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема применяется в геометрии на каждом шагу. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа.. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника (первый, египетский со сторонами 3, 4 и 5 всем известен), значения которых очень велики. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и пло-дородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора. 

Геометрия 7-9 классы, 2007 г.
2. Глейзер Г., Учебно-методическая газета Математика, №4 2005г.
3. Киселёв А.П. , Геометрия. Часть первая. Планиметрия, Москва,Просвещение,1969г.  4. Остренкова Г., Учебно-методическая газета Математика, №24 2001г. 5. Семёнов Е.Е. «Изучаем геометрию», Москва, Просвещение ,1987г. 6. Скопец З.А. «Геометрические миниатюры» , Москва, Просвещение,1990г. 7. Ткачева М.В. Домашняя математика , Москва, Просвещение ,1994г.
8. Интернет-источники: http://bankreferatov.ru/ http://kvant.ru/ http://th-pif.narod.ru/formul.html