Презентация, доклад по математике Теорема Пифагора

Нина Александровна

между сторонами прямоугольного треугольника.
В древнекитайской книге "Чжоу би суань цзин" говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Крупнейший немецкий историк математики Мориц Кантор (1829 - 1920) считает, что равенство 32+42=52было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника.
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство:
                                                                                                                         
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c (рис. 1). Докажем, что c2 = a2 + b2. Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b так, как показано на рисунке 2.
Площадь S этого квадрата равна (a + b)2. C другой стороны, этот квадрат составлено из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2 a b, и квадрата со стороной c, поэтому
S = 4 · 1/2 · a b + c2 = 2 a b + с2.
Таким образом,
(a + b)2 = 2 a b + с2,
откуда
с2 = a2 + b2.
Теорема доказана.

равны  а  и  в , а длина гипотенузы — с , выполнено соотношение:
c2 = a2 + b2.
Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. В таком виде теорема сформулирована в Началах Евклида.
Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением  c2 = a2 + b2. . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел  а ,  в  и  с , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами   и    гипотенузой  .

см. Найти гипотенузу этого треугольника.

Решение. Согласно условию катеты a=6 см, b=8 см. Тогда, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы
c²=a²+b²=62+82=36+64=100
Отсюда получаем, что искомая гипотенуза
c=10 (см)
Ответ. 10 см

Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.

катетов на 5 см больше другого, а гипотенуза равна 25 см.
Решение. Пусть x см - длина меньшего катета, тогда (x+5) см - длина большего. Тогда согласно теореме Пифагора имеем:
x²+(x+5)²=252
Раскрываем скобки, сводим подобные и решаем полученное квадратное уравнение:
x²+5x−300=0
Согласно теореме Виета, получаем, что
x₁=15 (см)  ,  x₂=−20 (см)
Значение x₂ не удовлетворяет условию задачи, а значит, меньший катет равен 15 см, а больший - 20 см.
Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению длин его катетов, то есть
S=15⋅202=15⋅10=150(см²)
Ответ. 150(см²)
 

                                                   
1. В прямоугольном треугольнике АВС (∟С =90º). АВ = 30см, АС = 18см.
Найдите ВС.
2. Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами 9, 12, 15?
Вариант 2.
1. В прямоугольном треугольнике АВС (∟А = 90º) АС = 24см, ВС = 30см.
Найдите АВ.
2. Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами 10, 24, 26?

Самостоятельная работа.

Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом». Основными источниками по жизни и учению Пифагора являются сочинения философа-неоплатоника Ямвлиха (242—306 гг.) «О Пифагоровой жизни»; Порфирия (234—305 гг.) «Жизнь Пифагора»; Диогена Лаэртского (200—250 гг.) кн. 8, «Пифагор». Эти авторы опирались на сочинения более ранних авторов, из которых следует отметить ученика Аристотеля Аристоксена (370—300 гг. до н. э.) родом из Тарента, где сильны были позиции пифагорейцев. Таким образом, самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти.

Пифагор Самосский
(570—490 гг. до н. э.).

познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
 Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя ,вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор
Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
                                     (А.Шамиссо)