Презентация, доклад по математике Правильные многогранники

исследовательская работа

Выполнил:
Красильников Владимир
ученик 11 «А» класса
Руководители:
Гущина Татьяна Леонидовна
учитель математики;
Красильникова Ирина Александровна
учитель химии

Кстово
2016

Правильные многогранники

сумел пробраться в самые глубины различных наук
Льюис Кэрролл (английский писатель, математик)

Эпиграф

живой и неживой природе.
Задачи:
Проанализировать определение правильного многогранника и доказать возможность существования 5 видов многогранников;
Рассмотреть основные свойства правильных многогранников;
Рассмотреть полуправильные многогранники как естественное расширение правильных многогранников;
Выявить значение правильных многогранников в живой и неживой природе.

все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Правильные многогранники в математике

к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}.

Людвиг Шлефли (1814-1895) - швейцарский математик, специалист в области многомерной геометрии и комплексного анализа

граней:
«тетра»  4;
«гекса»  6;
«окта»  8;
«додека»  12;
«икоса»  20;
«эдра»  грань.

вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º.

Тетраэдр

Виды правильных многогранников

трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º.

Куб

треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º.

Октаэдр

треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º.

Икосаэдр

правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º.

Додекаэдр

q должны быть больше 2.

При р = 3 q = 3, 4 , 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}.
При р = 4 q= 3, т.е. многогранник {4, 3}.
При р = 5 q = 3, т.е. многогранник {5, 3}.
При p > 5 допустимых значений q не существует.
Следовательно, других правильных многогранников, кроме 5 тел, не существует.

Пять правильных многогранников

оказали решающее влияние на развитие многих современных разделов математики. Эйлер долгое время жил и работал в России, был действительным членом Петербургской Академии наук, оказал большое влияние на развитие отечественной математической школы и в деле подготовки кадров ученых-математиков и педагогов в России.

сферой», имеются еще две важные сферы. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.

Свойства правильных многогранников

сфера, вписанная в правильный тетраэдр

полувписанная сфера

сфера, описанная около тетраэдра

двойствен многогранник {3, 4}






многограннику {5, 3} – многогранник {3, 5}

Многогранник, двойственный (или дуальный) к заданному многограннику — многогранник, у которого каждой грани исходного многогранника соответствует вершина двойственного, каждой вершине исходного — грань двойственного и каждому ребру исходного — ребро двойственного. Многогранник, двойственный двойственному, гомотетичен исходному.

и центры противоположных граней; 3 оси симметрии, проходящих через середины противоположных ребер и 6 плоскостей симметрии.

Ромбокубооктаэдр
Ромбоикосододекаэдр
плосконосый куб
плосконосый додекаэдр
псевдоархимедов

Определение. Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из правильных многоугольников, - возможно с разным числом сторон, - и для любых двух вершин существует симметрия многогранника, переводящая одну из них в другую.

Греции – именно им посвящена завершающая, XIII книга «Начала» Евклида.

его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.
Икосаэдр, как самый обтекаемый – воду.
Куб (самая устойчивая из фигур) – землю.
Октаэдр – воздух. Кроме этого греческие философы выделяли еще один первоэлемент — пустоту. Ему соответствует геометрическая форма сферы, в которую могут быть вписаны все платоновы тела.
Додекаэдр, символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.
Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера.

правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры Валерий Макаров и Владимир Морозов.
Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

вершины и середины рёбер многогранников, называемых узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

Правильные многогранники в физике и географии

представляет собой икосаэдр.

Вирусы имеют форму икосаэдра

Платоновы тела и хромосомы ДНК

Эфир символизирует нейтральная фигура тетраэдр, а в образовании хромосом принимают участие кодоны, соотнесенные с женскими или мужскими стихиями. Кодоны в молекуле ДНК будут соотнесены со стихиями, а каждой стихии или первоэлементу соответствует платоново тело. Поэтому, каждая аминокислота будет иметь вид матрешки т.к. три платоновых тела будут вложены одно в другое.

присуща не только Земле, но и строению живого вещества. В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы.
Структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой развертку вращающегося додекаэдра.

опущенной в раствор, растет кристалл поваренной соли.

фосфора,
P4.

куба

Кристаллы пирита
имеют форму додекаэдра

Минерал куприт образует
кристаллы в форме октаэдров

воздействие на человека. Эти формы обладают свойством видоизменять, организовывать энергию в чакрах человеческого тела. Причем каждая кристаллическая форма благотворно воздействует на ту чакру, первоэлементу которой она соответствует

многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники.
Леонардо да  Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции».

гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр.

очарование для голландского художника Морица Корнилиса Эшера.
На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии.
Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы.
На гравюре «Звезды» можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.

назвал его «Polyhedron Habitable».

Платоновы тела в архитектуре и скульптуре

паркет. Заметим, что при заполнении пространства многогранниками, сумма двугранных углов многогранников, прилегающих к одному ребру, должна составлять 360. Поэтому из одноименных правильных многогранников пространственный паркет можно составить только из тех, у которых двугранные углы имеют вид 360/n, n > 2.
Пространственный паркет можно составить только из равных кубов. Двугранные углы куба равны 90.

площади поверхности S, его объем был наибольшим?
Решение:
S пов =2(ab+bc+ac), V=abc, ab+bc+ac=








ab=bc=ac a=b=c
Итак, среди всех ящиков с заданной площадью полной поверхности наибольший объем имеет ящик кубической формы.

вклад в исследования этих многогранников, способах их построения и применения.


В ходе работы мы провели:
изучение темы «Правильный многогранник»;
рассмотрели основные свойства правильных многогранников;
рассмотрели полуправильные многогранники;
выявили значение правильных многогранников в живой и неживой природе.

Нами, в ходе работы, были достигнута поставленная цель.

Итоги работы