Презентация, доклад по математике на тему Задачи на построение сечений

построениями на требуется выполнять построение сечений заданных пространственных фигур. Способы задания сечений весьма различны, и универсального метода иx пocтpoeния не существует. Наиболее эффективными в практике преподавания в средней школе являются следующие три метода: 1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования; 3) комбинированный метод. Рассмотрим каждый из этих методов.

прямую с плоскостью каждой грани многогранника. Прямую по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости. Ясно, что секущая плоскость имеет столько следов, сколько плоскостей граней она пересекает. На практике чаще всего находят тот след секущей плоскости, который лежит в плоскости нижнего основания многогранника.

R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р лежит в грани CС1D1D, точка Q — в грани AA1D1D, точка R — на прямой ВВ1. Построим сечение параллелепипеда плоскостью PQR.
Р е ш е н и е. Построим точки Р1 и Q1 — проекции точек P и Q на плоскость ABC. Проекцией точки R, очевидно, является точка R, совпадающая с точкой В.
Построим прямую XY — след секущей плоскости. Точки Е и F, в которых прямая XY пересекает стороны основания параллелепипеда, разумеется, принадлежат секущей плоскости. Далее прямая EQ — это линия пересечения секущей плоскости с плоскостью грани AA1D1D, а прямая FP — это линия пересечения секущей плоскости с плоскостью грани CC1D1D. Находим далее точку N — точку пересечения прямой EQ с прямой АА1 и точку K— точку пересечения прямой FP с прямой СС1. Нетрудно заметить, что точки R и К лежат каждая и в плоскости грани ВВ1С1С, и в секущей плоскости, а точки R к N лежат каждая и в плоскости грани АА1В1В, и в секущей плоскости. Таким образом, мы получим прямые КР и NR и вместе с ними попутно получим точки L и М на верхнем основании параллелепипеда. Соединяя затем точки L и М, получим многоугольник EFKLMN — искомое сечение.

случаях, когда почему-либо неудобно находить след секущей плоскости, например, след получается очень далеко от заданной фигуры. Рассмотрим применение этого метода на примере.

следующим образом: точка Р лежит на грани CC1D1D, точ­ка Q — на ребре B 1C1, а точка R — на ребре АА1. Построим сечение параллелепипеда плоскостью PQR.
Решение. Пересечение секущей плоскости с плоскостью ABC (т. е. след секущей плоскости на плоскости ABC) не помещается на нашем изображении. Можно было бы, конечно, найти след секущей плоскости на плоскости какой-нибудь другой грани, например на плоскости ВВ1С1. (Для этого нужно было бы найти проекции точек Р и R на плоскость ВВ1С1, а затем найти точку X — точку пересечения прямых PR и P1R1. Тогда прямая XQ — искомый след.) Мы, однако, применим здесь метод внутреннего проектирования. При построении сечения этим методом не требуется находить след секущей плоскости. Выполним нужные построения в следующем порядке:
1. Построим плоскость АА1РР1, определяемую параллельными прямыми АА1 и РР1 , и плоскость DD1QQ1, определяемую параллельными прямыми QQ1 и DD1.

применяются приемы, изложенные в методе следов или в методе внутреннего проектирования, а на других этапах применяются теоремы, изученные в разделе «Параллельность прямых и плоскостей».

Р и Q . Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую CQ параллельно прямой АР.
Решение. Построим сначала вспомогательное сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую АР и какую-нибудь точку прямой CQ. Очевидно, что точка С прямой CQ будет для этой цели удобной, так как плоскость ABC, уже имеющаяся на чертеже, как раз проходит и через прямую АР, и через точку С.
Далее в плоскости ABC через точку С проводим прямую СК, параллельную прямой АР. Теперь можно построить искомое сечение. Оно определяется прямыми CQ и С1С. (Это построение можно выполнить, находя, например, точку пересечения следа С К секущей плоскости QCK с прямой АВ. Полученная точка пересечения и точка Q лежат обе и в секущей плоскости, и в плоскости грани АА1В1В. Дальнейшее построение ясно.) Многоугольник KLQRC — искомое сечение.

К, где К – середина В1С1

2) A, D1 , K , где К – середина ВС

3) А и С параллельно диагонали ВD1

, C, где M – середина AD

2) M, E , K , где M – середина AB
E – середина DD1
K – середина ВС
3) K, M, N, где М – середина АВ
N – середина ВС
К – середина A1D1