Презентация, доклад по математике на тему Вычисление площадей плоских фигур (8-11 классы)

Александрович,
учащийся 11-Б класса МБОУ СОШ №29
р.п. Чунский Чунского района Иркутской области
Руководитель: Клименко Т. Н., учитель математики
первой квалификационной категории

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №29 Р. П. ЧУНСКИЙ ЧУНСКОГО РАЙОНА ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ

исследования: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения. Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации. Цель исследования: Вывести и проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика.
Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

комнаты, площадь садового участка. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей.

Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычислять их площади. В древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность невелика. Лишь в последствие было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и других многоугольников.

Еще 4 - 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов.

площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

В своих «Началах» Евклид не употреблял слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид сравнивал площади разных фигур между собой. Как и другие ученые древности, Евклид занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур.

образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э.

Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. Имя Герона навсегда связано с известной формулой нахождения площади треугольника, если даны три его стороны a,b,c:

.

для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги. S = B + Г/2 – 1.

Георг Алекса́ндр Пик
(10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье.
Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем.
Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить. Давайте «схитрим»: вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш многоугольник до прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник.
Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

внутри данного треугольника
10
2.Дополним неполные клетки друг другом до полных клеток.
5
3. Сложим полученные количества полных клеток:
10 + 5 = 15
Ответ: 15

9

1

2

3

4

1

5

6

7

8

10

2

3

5

4

Sтр=(а•h)/2,
где а – основание треугольника,
h – высота, проведенная к этому основанию.
а=6, h=5
Получаем
Sтр=(6•5)/2=15

Ответ: 15

h

a

для этого проведем высоту.
2.Найдем площадь прямоугольного треугольника S1 :
S1 = (5Х5)/2=12,5
3.Найдем площадь прямоугольного треугольника S2:
S2 = (5х1)/2=2,5
4.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:
Sтр=S1+S2
Sтр=12,5+2,5=15
Ответ: 15

S1

5

5

S2

1

и 6.
2.Найдем площадь прямоугольника
Sпр=5Х6=30
3.Найдем площадь прямоугольного треугольника S1 :
S1 = (5Х5)/2=12,5
4.Найдем площадь прямоугольного треугольника S2:
S2 = (5х1)/2=2,5
5.Площадь искомого треугольника найдем по формуле:
Sтр=Sпр-(S1+S2)
Sтр=30-(12,5+2,5)= 15
Ответ: 15

S1

S2

6

5

1

5

5

S=Г/2+В-1,
где Г –количество узлов на границе треугольника(на сторонах и вершинах),
В – количество узлов внутри треугольника.
Г = 12, В = 10
Получаем S=12/2+10-1=15
Ответ: 15

о

о

о

о

о

о

о

о

о

о

таком треугольнике определить точно невозможно, а, следовательно, невозможно применить формулу для вычисления его площади. Поэтому здесь можно только применить способ вычитания прямоугольных треугольников из площади прямоугольника.

Задача 2: Вычислите площадь данного треугольника.
Решение:
S прямоугольника = 6*5 = 30 , S1= ½ *5*2 = 5 ,
S2 = ½ *4*2=4
S3=½*6*3 = 9 Тогда
S тр = S пр – S1 – S2 – S3 =
=30 – 5 – 4 – 9 = 12
Ответ:12

S1

S3

S2

В = 10, Г = 6.
S = 10 + 6/2 – 1 = 12 .
Ответ: 12
Оказывается, это намного быстрее, чем в предыдущем случае!

В = 10
Г = 7
10 + 7/2 – 1 = 10 + 3,5 – 1 = =12,5

Ответ: 12,5

Г = 8; В = 1

S = 1 + 8/2 – 1 = 1 + 4 – 1 = 4

Ответ: 4

В = 5

S = 5 + 7/2 – 1 = 5 + 3,5 – 1 = 7,5

Ответ: 7,5

узлах сетки, то для него верна формула Пика.

на клетчатой бумаге:
1. Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: : S = В + Г/2 - 1 .
2. Формула Пика очень проста для запоминания.
3. Формула Пика очень удобна и проста в применении.
4. Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

5-6 классы. – М.: ДРОФА, 2005 2. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25. 3. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2014 – 2017. Режим доступа: http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?posMask=32 4. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982. 5. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. – М.: МЦНМО, 2000. 6. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М., 2010. 7. Трошин В. В. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2. – М.: Глобус, 2008. 8. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1978