Презентация, доклад по математике на тему : Поверхности 2 порядка

Математика
Студент: Максимов Артур
Группа: 17 ДМ
Преподаватель: Сытенкова Татьяна Викторовна

называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:


где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Это уравнение называют общим уравнением поверхности второго порядка S (обозначим это ур-е 1), а систему координат Oxyz называют общей системой координат.
Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов.

1) — эллипсоид,

2) — мнимый эллипсоид,

3) — однополостный гиперболоид,

4) — двуполостный гиперболоид,

5) — конус,

6) — мнимый конус (точка),

7) — эллиптический параболоид,

8) — гиперболический параболоид,

пересекающиеся плоскости (ось O'Z),

12) — гиперболический цилиндр,

13) — две пересекающиеся плоскости,

14) — параболический цилиндр,

15) — две параллельные плоскости,

16) — две мнимые параллельные плоскости,

17) — две совпадающие плоскости (плоскость XOZ).

В выше перечисленных уравнениях a, b, c, p ­— положительные параметры. Систему координат называют канонической.

данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой
декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение,
полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.








Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность
второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем
произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате
уравнение поверхности примет вид: a11х2 + а22у2 + a33z2 + а44  =0 (2)
Так как инвариант I3  для центральной поверхности отличен от нуля и его значение,
вычисленное для уравнения (2) , равно a11 •  а22 •  a33 , то коэффициенты a11,а22, a33
удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи :
1. Коэффициенты a11 ,а22 , a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом
случае поверхность S называется эллипсоидом.
Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме:
2. Если из четырех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 два одного знака, а два других—
противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом.
3. Если знак одного из первых трех коэффициентов a11, а22, a33, а44 противоположен знаку
остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным
гиперболоидом.

Свойства эллипсоида:

Эллипсоид обладает

1) Центральной симметрией относительно начала координат,

2) Осевой симметрией относительно координатных осей,

3) Плоскостной симметрией относительно начала координат.

В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной

любой из координатных осей, получается эллипс.

Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид:

Свойства гиперболоида:

Однополостный гиперболоид обладает

1) Центральной симметрией относительно начала координат,

2) Осевой симметрией относительно координатных осей,

3) Плоскостной симметрией относительно начала координат.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью,

перпендикулярной оси координат Oz , получается эллипс,

а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Гиперболоиды

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид:

Свойства двуполостного гиперболоида:

Двуполостный гиперболоид обладает

1) Центральной симметрией относительно начала координат,

2) Осевой симметрией относительно координатных осей,

3) Плоскостной симметрией относительно начала координат.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью,

перпендикулярной оси координат Oz, при |z| > c получается

эллипс, при |z| = c – точка, а в сечении плоскостями,

перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.

Гиперболоиды

Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид:

Свойства эллиптического параболоида:

Эллиптический параболоид обладает

1) Осевой симметрией относительно оси Oz,

2) Плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz,

В сечении эллиптического параболоида плоскостью,

ортогональной оси Oz , получается эллипс, а плоскостями,

ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид:

Свойства гиперболического параболоида:

Гиперболический параболоид обладает

1) Осевой симметрией относительно оси Oz,

2) Плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz,

В сечении гиперболического параболоида плоскостью,

ортогональной оси Oz , получается гипербола, а плоскостями,

ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой

прямоугольной системе координат определяется уравнением:

цилиндр.
Каноническое уравнение эллиптического цилиндра имеет вид:

цилиндр.
Каноническое уравнение гиперболического цилиндра имеет вид:

цилиндр.
Каноническое уравнение параболического цилиндра имеет вид:

и изобразите эту поверхность, если в
прямоугольной системе координат поверхность F задана уравнением F:
Решение: Приведем уравнение поверхности F к каноническому виду :


Следовательно, F – эллиптический цилиндр. Его направляющая y задается

уравнением y: (Она лежит в плоскости Oxz), а образующие параллельные

координатному вектору . Поверхность F изображена на рисунке 1.

найдите уравнение её
направляющей y, направление образующих и изобразите эту поверхность, если в
прямоугольной системе координат поверхность F задана уравнением F:


Решение: Приведем уравнение поверхности F к каноническому виду :

Следовательно, F – гиперболический цилиндр. Его направляющая y задается

уравнением y: (Она лежит в плоскости Oxy). y – гипербола с мнимой осью Ox.

Поверхность F изображена на рисунке 2.

и прямой:

и

Решение: ,

Полученную систему подставим в исходное уравнение.

или отсюда .