Методическое пособие для учащихся 9 – 11 классов
«Вписанная, описанная,
вневписанная окружности".
Составил
учитель математики
первой категории
Гавинская Елена Вячеславовна.
г.Калининград
2015-2016 учебный год
- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад по геометрии Вписанная, описанная, вневписанная окружность
Содержание
- 1. Презентация по геометрии Вписанная, описанная, вневписанная окружность
- 2. Вписаннаяокружность.
- 3. §1. Определение окружности, вписанной в угол.
- 4. §2. Определение окружности, вписанной в выпуклый
- 5. §3. Свойства вписанной окружности.Теорема (для выпуклого многоугольника):
- 6. В частности, для треугольника:Теорема 1: «В каждый
- 7. (продолжение)Теорема 2: «Площадь треугольника можно вычислить как произведение его полупериметра на радиус вписанной окружности».ОНМЕr
- 8. Теорема 1:(признак вписанной в четырехугольник
- 9. (продолжение) Теорема 2:(признак вписанной в параллелограмм окружности)«В
- 10. Описанная окружность.
- 11. §1. Определение окружности, описанной около выпуклого
- 12. Теорема 1(для выпуклого многоугольника):«Если около
- 13. Следствие(из теоремы 1):«Если рядом с
- 14. В частности, для треугольника.Теорема 2:«Вокруг любого треугольника
- 15. В частности, для треугольника.Теорема 3:«У остроугольного треугольника
- 16. В частности, для четырехугольника.Теорема 4(признак окружности, описанной
- 17. В частности, для четырехугольника. Следствие(из теоремы 4):«Можно
- 18. Теорема 5(признак окружности, описанной около
- 19. Вневписанная окружность. BACKaK1K2
- 20. §1. Определение. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность,
- 21. Определение элемента вневписанной окружности.
- 22. Теорема 1.«Биссектрисы двух внешних
- 23. Теорема 2.«Для любого треугольника существует единственная вневписанная окружность, касающаяся данной его стороны». (продолжение)
- 24. Слайд 24
- 25. Теорема 4.«Если вневписанная окружность
- 26. (продолжение) Теорема 5.«Если вписанная и вневписанная окружности
- 27. (продолжение) Теорема 6.«Точки, в которых вписанная и
- 28. (продолжение) Теорема 7.«Биссектрисы внешних или внутренних углов
- 29. (продолжение) В итоге получаем четыре окружности с
- 30. (продолжение) Теорема 8: « Шесть биссектрис треугольника
- 31. (продолжение) Теорема 9: «Отрезки, соединяющие центр вписанной
- 32. §3. Формулы
- 33. Слайд 33
- 34. Определение. Точка Нагеля — это
- 35. Теорема .«Если точки таковы, что
- 36. Определение.В каждом треугольнике следующие девять
- 37. Теорема 1. «Если H —
- 38. Теорема 2. «Точка пересечения медиан
- 39. Теорема 3.«Радиус окружности Эйлера равен
- 40. Теорема 4.« Точки симметричные ортоцентру
- 41. Прямая линия Эйлера – это
- 42. Связь между описанной и вписанной окружностями.
- 43. Теорема 1:« Центр описанной и вписанной окружностей
- 44. «Пусть для произвольного треугольника ABC числа r, R
- 45. Формулы для вычисления радиусов вписанной и
- 46. Формулы для вычисления радиусов вписанной и
Вписаннаяокружность.
Слайд 1 муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 45
Слайд 3§1. Определение окружности,
вписанной в угол.
Окружность называется вписанной в угол,
если она лежит внутри угла и касается его сторон.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
А
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
А
Слайд 4§2. Определение окружности,
вписанной в выпуклый многоугольник.
Окружность называется вписанной в выпуклый
многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.
При этом многоугольник
называется описанным
около этой окружности.
При этом многоугольник
называется описанным
около этой окружности.
Слайд 5§3. Свойства вписанной окружности.
Теорема (для выпуклого многоугольника):
«Если в данный выпуклый
многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности, причем в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности».
О
А
Е
С
В
Окр.(т.О; r) – вписанная в четырехугольник АВСЕ,
ОА, ОВ, ОС, ОЕ -биссектрисы углов.
Слайд 6В частности, для треугольника:
Теорема 1:
«В каждый треугольник можно вписать окружность,
притом ровно одну, причем ее центр — это точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр)».
О
Н
М
Е
т.О - инцентр
Слайд 7(продолжение)
Теорема 2:
«Площадь треугольника можно вычислить как произведение его полупериметра на
радиус вписанной окружности».
О
Н
М
Е
r
Слайд 8 Теорема 1:
(признак вписанной в четырехугольник окружности)
«В четырехугольник можно вписать
окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон».
О
a
b
c
d
a + b = c + d
В частности, для четырехугольника:
Слайд 9(продолжение)
Теорема 2:
(признак вписанной в параллелограмм окружности)
«В параллелограмм можно вписать окружность
тогда и только тогда, когда он является ромбом».
О
А
С
М
В
Слайд 11§1. Определение окружности,
описанной около выпуклого многоугольника.
Окружность называется описанной около выпуклого
многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника.
При этом многоугольник
называется вписанным
в эту окружность.
При этом многоугольник
называется вписанным
в эту окружность.
О
Слайд 12
Теорема 1
(для выпуклого многоугольника):
«Если около данного выпуклого многоугольника можно описать
окружность, то все серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности, причем около выпуклого многоугольника можно описать не более одной окружности».
§2. Свойства описанной окружности.
Слайд 13
Следствие
(из теоремы 1):
«Если рядом с n-угольником описана окружность, то все
серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности)».
(продолжение)
Слайд 14В частности, для треугольника.
Теорема 2:
«Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом
только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров».
Слайд 15В частности, для треугольника.
Теорема 3:
«У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит
внутри,
у тупоугольного — вне треугольника,
у прямоугольного — на середине гипотенузы».
у тупоугольного — вне треугольника,
у прямоугольного — на середине гипотенузы».
Слайд 16В частности, для четырехугольника.
Теорема 4
(признак окружности, описанной около четырехугольника):
«Вокруг выпуклого четырехугольника
можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан)».
О
А
В
С
К
Слайд 17В частности, для четырехугольника.
Следствие
(из теоремы 4):
«Можно описать окружность вокруг:
любого прямоугольника
(частный случай - квадрат)
любой равнобедренной трапеции».
любой равнобедренной трапеции».
Слайд 18 Теорема 5
(признак окружности, описанной около трапеции):
«Около трапеции можно описать
окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне».
О
.
В частности, для четырехугольника.
С
А
М
В
Слайд 20§1. Определение. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон
и продолжений двух других.
A
B
C
Ka
Kb
Kc
ra
rb
rc
Слайд 21
Определение элемента вневписанной окружности.
Три вневписанные окружности к сторонам треугольника.
Радиусом вневписанной
окружностью треугольника называется отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой- либо стороне треугольника или её продолжению.
A
B
C
Ka
Kb
Kc
ra
rb
rc
Слайд 22
Теорема 1.
«Биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в
одной точке, которая является центром вневписанной окружности треугольника».
§2. Свойства вневписанной окружности.
Слайд 23
Теорема 2.
«Для любого треугольника существует единственная вневписанная окружность, касающаяся данной его
стороны».
(продолжение)
Слайд 24
(продолжение)
Теорема 3.
«Для каждого треугольника существует только три вневписанных окружности».
A
B
C
Ka
Kb
Kc
ra
rb
rc
Слайд 25
Теорема 4.
«Если вневписанная окружность треугольника ABC касается продолжения стороны AB в
точке P3, то A P3 = p, где p — полупериметр треугольника ABC».
(продолжение)
Слайд 26(продолжение)
Теорема 5.
«Если вписанная и вневписанная окружности треугольника ABC, касаются стороны BC
в точках M и N, то BM = CN».
A
B
C
Ka
Kb
Kc
ra
rb
rc
r
Слайд 27(продолжение)
Теорема 6.
«Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника,
симметричны относительно середины этой стороны».
A
B
C
Ka
Kb
Kc
ra
rb
rc
r
Слайд 28(продолжение)
Теорема 7.
«Биссектрисы внешних или внутренних углов треугольника образуют центры окружностей касающихся
прямых АВ, ВС, СА».
Иллюстрация:
Слайд 29(продолжение)
В итоге получаем четыре окружности с центрами О, Оа, Ob, Oc,
касающиеся трех данных несовпадающих прямых. При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других — вневписанными окружностями.
Иллюстрация:
Слайд 30(продолжение)
Теорема 8:
« Шесть биссектрис треугольника — три внутренние и три
внешние — пересекаются по три в четырех точках — центрах вписанной и трех вневписанных окружностей».
Иллюстрация:
Слайд 31(продолжение)
Теорема 9:
«Отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник окружности с центрами
вневписанных окружностей, делятся пополам окружностью, описанной вокруг этого треугольника».
Иллюстрация:
Слайд 33
Историческая справка
Названа по имени Xристиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836г.
Христиан Генрих фон Нагель (нем. Christian Heinrich von Nagel; 28 февраля 1803, Штутгарт — 27 октября 1882) — немецкий математик.
Изучал теологию в Тюбингене, затем там же, а с 1830г. в Ульме преподавал математику в гимназии. Известен рядом работ по геометрии треугольника — в частности, работой (Лейпциг, 1836), в которой впервые описана срединная точка треугольника, в дальнейшем получившая название точки Нагеля.
Названа по имени Xристиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836г.
Христиан Генрих фон Нагель (нем. Christian Heinrich von Nagel; 28 февраля 1803, Штутгарт — 27 октября 1882) — немецкий математик.
Изучал теологию в Тюбингене, затем там же, а с 1830г. в Ульме преподавал математику в гимназии. Известен рядом работ по геометрии треугольника — в частности, работой (Лейпциг, 1836), в которой впервые описана срединная точка треугольника, в дальнейшем получившая название точки Нагеля.
§4. Точка Нагеля.
Слайд 34
Определение.
Точка Нагеля — это точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника
с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.
Обычно обозначается N.
Обычно обозначается N.
Иллюстрация:
Слайд 35
Теорема .
«Если точки таковы, что каждый из отрезков ATА, BTВ и
CTС делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля».
Иллюстрация:
Свойство точки Нагеля.
Слайд 36
Определение.
В каждом треугольнике следующие девять точек: середины сторон, основания высот и
середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной окружности. Эта окружность называется окружностью девяти точек данного треугольника (или окружностью Эйлера).
Окружность Эйлера.
Слайд 37
Теорема 1.
«Если H — точка пересечения высот данного треугольника, а
O — центр его описанной окружности, то центром окружности девяти точек является середина отрезка OH».
Иллюстрация:
Свойства окружности Эйлера.
Слайд 38
Теорема 2.
«Точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющим ортоцентр с
центром описанной окружности, и делит его в отношении 1:2 считая от центра описанной окружности».
Иллюстрация:
Свойства окружности Эйлера.
Слайд 39
Теорема 3.
«Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности, а центр
окружности Эйлера является серединой отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности».
Иллюстрация:
Свойства окружности Эйлера.
Слайд 40
Теорема 4.
« Точки симметричные ортоцентру относительно оснований высот и середин сторон
лежат на описанной окружности».
Иллюстрация:
Свойства окружности Эйлера.
Слайд 41
Прямая линия Эйлера – это линия, проходящая через центр описанной окружности,
точку пересечения медиан, центр окружности Эйлера и ортоцентр.
Иллюстрация:
Важное замечание
для окружности Эйлера.
Слайд 43Теорема 1:
« Центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в
том случае, когда этот треугольник — правильный (равносторонний)».
О
Е
А
В
∆АВЕ -правильный
Слайд 44«Пусть для произвольного треугольника ABC числа r, R и d соответственно обозначают
радиусы
вписанной и описанной
окружностей и
расстояние между
их центрами.
Тогда
d² = R²-2Rr
вписанной и описанной
окружностей и
расстояние между
их центрами.
Тогда
d² = R²-2Rr
О
О1
А
В
С
d
R
r
Теорема 2:
Слайд 45
Формулы для вычисления
радиусов вписанной и описанной окружностей.
Радиус вписанной в треугольник
окружности:
Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности:
Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности:
О
Е
А
В
Слайд 46
Формулы для вычисления
радиусов вписанной и описанной окружностей.
Радиус описанной около треугольника окружности:
Радиус
описанной около правильного многоугольника окружности:
О
Е
В
А
