Презентация, доклад по геометрии на тему Теорема Пифагора и способы её доказательства

в своей жизни навсегда «распрощался» с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора объясняется её простотой, красотой, значимостью.

зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придём.

можете увидеть доказательство теоремы Пифагора, которое основано на равновеликости фигур, из которых они состоят. Это доказательство считается одними из самых простых из-за своей наглядности.

его катетах.

Доказательство Пифагора

его катетах.

Почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. На марке надпись: « т.Пифагора. Эллас. 350 драхи».

разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.
 

PO||EF; MN||EF; CD⊥EF.
Доказать: квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах
Доказательство.
Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны.
Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны.
При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой.
Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах.
Теорема доказана.

осуществления которых использовались дополнительные построения.

BFCB

3. Построим BE=AB, BEAB

4. Построим AD=AC, ADAC

5. Точки F, C, D принадлежат одной прямой.

равновелики, т.к. ABF= ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики.
7. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим:
1/2а2+1/2b 2=1/2с 2
8. Соответственно:
а2+ b 2 =с 2

Доказательство Гофмана

a

формул. Это достаточно легкие доказательства, не требующие никаких дополнительных построений.

с другой 0,5pr, где
p – полупериметр треугольника,
r – радиус вписанной в него окружности (r=0,5(a+b-c)).

ab + b2 – bc + ca + cb - с2)
аb=0,5(а2 + b2- с2 +2ab)/·2
2аb=а2 + b2- с2 +2ab
а2 + b2- с2 =0

3. Отсюда следует, что с2= а2+b2

Доказательство Мёльманна

взгляда на чертёж. Мы предлагаем несколько доказательств, которые не требуют пояснений. Это доказательства способом разложения квадратов на катетах и гипотенузе на отдельные фигуры.

рядом. Надо разделить эту фигуру всего на 3(!) части, чтобы сложить из них квадрат на гипотенузе. На иллюстрации наглядно дано это разрезание.

привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем. Доказательства методом вычитания - доказательства при помощи вырезания определенных фигур из равных по площади частей.

2 и 3, равные исходному треугольнику 1.

Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь, что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла cosA=AD/AC=AC/AB.
Отсюда АВ*AD=AC*АС.
 Аналогично cos B=BD/BC=BC/AB. Отсюда АВ*BD=BC*BC.
Складывая полученные результаты почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:
AC*AC + BC*BC = AB*AB. Теорема доказана.