Презентация, доклад по геометрии на тему Объемы тел (11 класс)

измерения отрезков.

Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром (см3). Аналогично определяются ку-бический метр (м3), кубичес-кий миллиметр (мм3) и т. д.

При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положи-тельным числом, которое показывает, сколько еди-ниц измерения объемов и частей единицы содер-жится в данном теле.

Понятие объема вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Из планиметрии известно, что каждый много-угольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбран-ной единицы площадей. Аналогично будем считать, что каждое из тел имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов.

можно сов-местить наложением.

Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел

abc

Доказательство:
Примем грань с ребрами а и b за основание. Тогда площадь основания равна ab, а высота h равна с. Следовательно, V = abc = Sh.

V = Sh

площади основания на высоту.

Доказательство:
Достроим прямоугольную призму с основанием АВС до прямоугольного параллелепипеда. Объем этого параллелепипеда равен 2SABC∙h, где h – высота призмы. Плоскость ВВ1С разбивает параллелепипед на две равные призмы, одна из которых – данная. Следовательно, объем данной призмы V равен половине объема параллелепипеда, т. е. V=SABC ∙h

V = SABCh

= S∙h

Проведем высоту ∆АВС, которая разделяет его на 2 треугольника. Плоскость DBВ1 разделяет данную призму на две, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ADB и BDC. Объемы этих призм равны SABD∙h и SBDC∙h. Следовательно,V=SABD∙h + SBDC∙h = =(SABD + SBDC) ∙ h = SABC∙h

площадью основания S. Ее можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы через полученную формулу и сложим их. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадь основания исходной призмы. Таким образом,
V = Sh.

= Sh

высотой h. Отметим точку О на одном из оснований призмы и направим ось Ох перпендикулярно к основаниям. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси Ох. Обозначим буквой х абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S (x) – площадь получившегося сечения. Площадь S (x) равна площади основания призмы (т.к. ∆АВС = ∆А2В2С2). Применяя формулу для вычисления объемов тел, получаем

основания S. Ее можно разбить на треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы через полученную формулу и сложим их. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадь основания исходной призмы. Таким образом, V = Sh.

= ⅓S∙h

и высотой h. Проведем ось Ох и рассмотрим сечение А1В1С1 пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ох. Обозначим буквой х абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S (x) – площадь получившегося сечения. S(x) : S = (x : h)2 (т.к. ∆АВС~∆А1В1С1). Следовательно, S(x) = Sx2/ h2. Применяя формулу для вычисления объемов тел, получаем

основания S. Ее можно разбить на треугольные пирамиды с высотой h. Выразим объем каждой треугольной пирамиды через полученную формулу и сложим их. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных пирамид, т.е. площадь основания исходной призмы. Таким образом,
V = ⅓Sh.

площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле

равен одной трети произведения площади основания на высоту

V = ⅓S∙h

вершиной в точке О. Введем ось Ох. Обозначим радиус сечения конуса произвольным кругом через R1, а его площадь через S(x). Т.к. ∆АОМ~∆А1ОМ1, то х:h = R1:R.

площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле