Презентация, доклад по геометрии на тему Касание прямой и окружности. Взаимное расположение прямой и окружности (9 класс)

1) Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая и окружность не имеют общих точек.
2) Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая касается окружности .
3) Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность ровно в двух точках.

Дано: Окр. (O; R) вписана в ∠ ABC, O ∈ BD
Доказать: BD — биссектриса ∠ABD
Доказательство:

(по свойству касательной), сторона BO — общая.
Значит, прямоугольные Δ BOF и ΔBOP равны (по катету и гипотенузе).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠FBO = ∠PBO.
Следовательно, BO — биссектриса угла ABC.
Что и требовалось доказать.

2. OF = OP (как радиусы). Значит, точка O равноудалена от сторон угла ABC. А так как  любая точка внутри неразвёрнутого угла, равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то BO — биссектриса угла ABC.
 

Р е ш е н и е.
Пусть заданы точка А и окружность F с центром в точке О и радиусом r . Решение этой задачи на построение зависит от длины отрезка ОА. Возможны три случая.
1) OA < r (рис. 178). Тогда любая прямая, проходящая через точку А, пересекает окружность F (так как расстояние от точки О до любой такой прямой меньше r). Касательных к окружности F среди этих прямых нет.

Р е ш е н и е.
2) OA = r (рис.179). В этом случае точка А лежит на окружности F и касательной к этой окружности является прямая р, проходящая через А перпендикулярно прямой ОА. Такая прямая единственная.

Р е ш е н и е.
3) OA > r (рис. 180). Если прямая р, проходящая через точку А касается окружности F в точке В, то Δ ОАВ – прямоугольный (по свойству касательной). Поэтому построение касательной АВ сводится к построению прямоугольного ΔОАВ по гипотенузе ОА и катету ОВ = r.

Р е ш е н и е.
3) OA > r . Это построение можно выполнить, построив на диаметре ОА окружность G и проведя ее хорды ОВ = r и ОВ₁ = r (рис.181): получим два решения. Эти решения симметричны относительно прямой ОА .

А

С

с

а

А

В

С

О

К

М

Рассмотрим окружность с центром O, в которой хорда AB пересекает диаметр CD в точке E.
Если E – это середина AB, то OE – это медиана равнобедренного треугольника AOB, а, следовательно, и OE – высота.
Обратно, если OE - высота, то и медиана.

Рассмотрим окружность с центром O, в которой проведены хорды AB и CD.
Пусть расстояния OE и OF до этих хорд равны.
Тогда треугольники OAE,OEB,OFD и OFC равны по катету и гипотенузе (OA=OB=OD=OC, так как это радиусы).
Тогда AE=EB=DF=FC, и, следовательно, AB=2AE=2DF=CD.

Рассмотрим окружность с центром O, в которой проведены хорды AB и CD.
Если ∠AOB=∠COD, то △AOB=△COD по первому признаку равенства (CO=OB=OD=OA, так как это радиусы), следовательно, AB=CD.
Обратно, если AB=CD, то △AOB=△COD по третьему признаку равенства, следовательно, ∠AOB=∠COD.