Презентация, доклад на тему Материалы для учителя: окружность. Круг

луч, ломаная, угол, многоугольник, треугольник и четырехугольник, прямоугольник и квадрат, окружность и круг, прямоугольный параллелепипед, куб, шар. Изображать изучаемые фигуры от руки и с помощью линейки и циркуля.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
решать практические задачи с применением простейших свойств фигур.

авт. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина

заданное расстояние (равное радиусу) от заданной точки этой же плоскости (центра окружности).
Расстояние от произвольной точки на окружности к его центру называется радиусом окружности.
Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр называется диаметром окружности.
Длина диаметра окружности равняется двум радиусам.
Прямая, которая имеет с окружностью две разных общих точки, называется секущей.
Прямая, которая имеет с окружностью лишь одну общую точку, называется касательной, а общая точка – точкой касания.
Теорема. Радиус (диаметр) окружности, который проведен в точку касания перпендикулярен к касательной .
Отрезок, который соединяет две точки окружности, называется хордой

Окружность и ее элементы
r - радиус; d - диаметр;
a - секущая; b - касательная;
D - точка касания; CD - хорда;

двумя радиусами и дугой называется сектором.
Область круга, ограниченная хордой и дугой, называется сегментом.

Круговой сектор

Круговой сегмент

окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Теорема
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теорема
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

центральным углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

2
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой

многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Теорема
В любой треугольник можно вписать окружность.



Замечания
1) Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.
2) В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность

Вписанная окружность

описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.



Теорема
Около любого треугольника можно описать окружность.

Замечания
1)    Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность.
2)    В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

7 –9», авт. Л. С. Атанасян

такое срединный перпендикуляр к отрезку?

Сформулируйте теорему о срединном перпендикуляре к отрезку.

Сформулируйте свойство высот треугольника.

всех рисунках, окружности находится внутри прямоугольника или треугольника

касается ее.

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник. А многоугольника в этом случае называется описанным около окружности.

если все стороны треугольника касаются окружности.

Если окружность вписана в треугольник,
то треугольник описан около окружности.

в точке О.
Доказать: окружность с центром в точке О вписана в треугольник DАВС
Доказательство
Рассмотрим  АВС. Проведем биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке О. Проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОM к сторонам  АВС. Отметим равные отрезки ОК, ОL и ОM. Они равны, потому что ОК, ОL и ОM – радиусы одной и той же окружности.

Заметим АMO= АKO, по гипотенузе и острому углу: AO – общая, МАО=КАО, т.к. АО-биссектриса, АМО=АКО=90°.
Это значит, что OK=OM, аналогично можно доказать, что ОК=OL. Итак, окружность проходит через точки K, L, M, а стороны треугольника касаются окружности в точках K, L, M.
Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в DАВС.

гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см и 4 см.
Найдите радиус вписанной окружности.

Решение:

АВ = АМ + ВМ = 6 + 4 = 10(см)

По теореме Пифагора: АС2 + ВС2 = АВ2

,

АС= 6+ r, ВС = 4 + r

(6 + r)2 + (4 + r)2 = 102

Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см

Ответ: 2 см

на отрезки 10 см и 6 см.
Найдите радиус вписанной окружности.