- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад на тему Задачи по теории вероятностей
Содержание
- 1. Задачи по теории вероятностей
- 2. Задача 1.Изготовили 100 деталей, из которых 97
- 3. Решение.Если взять 1 деталь, то событие А
- 4. Задача 2.Бросают игральную кость. Найти вероятность того,
- 5. Решение.а) На гранях игральной кости имеется три
- 6. Задача 3.Даны 5 точек, никакие 3 из
- 7. Решение.Пусть событие А – выбор исходной прямой.
- 8. Задача 4.Набирая номер телефона, абонент забыл две
- 9. Решение.Пусть С – событие, состоящее в том,
- 10. Задача 5.Буквы а, а, в, к, к,
- 11. Событие А – такое расположение карточек с
- 12. Задача 6.Набирая номер телефона, абонент забыл одну
- 13. Пусть В – событие, состоящее в том,
- 14. Задача 7.В ящик, имеющий два отделения, брошено
- 15. Можно выделить всего 4 равновозможных, единственно возможных
- 16. Задача 8.Декан факультета вызвал через старосту трех
- 17. Число равновозможных, единственно возможных и несовместимых случаев
- 18. Задача 9.В библиотечке 25 книг. Наудачу выбирается
- 19. Всего равновозможных, единственно возможных и несовместимых случаев
- 20. Задача 10.Известно, что 5% всех мужчин и
- 21. Пусть мужчин и женщин будет одинаковое (согласно
- 22. Задача 11.Проверено 100 деталей. Среди них оказалось 80 стандартных. Какова относительная частота появления стандартной детали?
- 23. Решение.Пусть событие А – при проверке деталь
- 24. Задача 12.Естествоиспытатель К.Пирсон подбрасывал монету и записывал
- 25. Решение.Относительная частота выпадения гербаW(A) = 12012 =
- 26. Задача 13.Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных
- 27. Ответ: 0,05.
- 28. Задача 14.По цели произведено 20 выстрелов,причем зарегистрировано 18 попаданий.Найти относительную частоту попаданий в цель.
- 29. Ответ:0,9.
- 30. Задача 15.При испытании партии приборов относительная частота
- 31. Ответ: 180.
- 32. Задача 16.На отрезок ОА длины ℓ числовой
- 33. Решение.Разобьем отрезок ОА точками М и К
- 34. Задача 17.Если абонент ждет телефонного вызова с
- 35. Решение.Пусть событие D – вызов произошел в
- 36. Задача 18.На листок бумаги в клетку со
- 37. Решение.На рисунке заштрихована область, попадание центра кружка
- 38. Задача 19.В круг, радиус которого равен R,
- 39. Слайд 39
- 40. АСDА1В1С1D1Задача 20.Внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны
- 41. Решение.Пусть событие N – точка оказалась внутри
- 42. Задача 21.Два друга Х и У условились
- 43. Пусть момент прихода друзей Х и У
- 44. Задача 22.Минное заграждение поставлено в одну линию
- 45. Ответ: 0,2.
- 46. Задача 23.Внутрь круга радиусом R наудачу брошена
- 47. Ответ: 2 . π
- 48. Задача 24.В урне 5 белых шаров, 3
- 49. Решение.1 способПусть А – событие, состоящее в
- 50. Задача 25.Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что
- 51. Решение.Пусть А,В,С – события, состоящие в том,
- 52. Задача 26.В коробке 250 лампочек, из них
- 53. Решение.Пусть А – событие, состоящее в том,
- 54. Задача 27.В коробке лежат 30 галстуков, причем
- 55. Решение.Пусть А – событие, состоящее в том,
- 56. Задача 28.Вероятность того, что студент сдаст экзамен
- 57. Слайд 57
- 58. Задача 29.У продавца имеется 10 оранжевых,8 синих,
- 59. Ответ: 23 . 38
- 60. Задача 30.В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000
- 61. Слайд 61
- 62. Задача 31.В ящике 10 лампочек по15 Вт,
- 63. Слайд 63
- 64. Задача 32.В первой урне находятся6 черных и
- 65. Пусть А1 – из первой урны извлечен
- 66. Задача 33.Прибор состоит из двух элементов, работающих
- 67. Пусть событие А – выход из строя
- 68. Задача 34.В экзаменационные билеты включенопо 2 теоретических
- 69. Полный ответ на билет состоит из произведения
- 70. Задача 35.В Санкт-Петербург – 16 мест на
- 71. Событие Е – определенные три студента попадут
- 72. Задача 36.Какова вероятность того, что при 10
- 73. Слайд 73
- 74. Задача 37.Найти вероятность того, что при 9 бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза.
- 75. Слайд 75
- 76. Задача 38.За один выстрел стрелок поражает мишень
- 77. Слайд 77
- 78. Задача 39.В следующих испытаниях найдите вероятности «успеха»
- 79. а) 0,75 , 0,25б) 1 , 2
- 80. Задача 40.Напишите формулы, по которым следует находить
- 81. Слайд 81
Задача 1.Изготовили 100 деталей, из которых 97 стандартных и 3 бракованных. Какова вероятность выбора стандартной детали и выбора бракованной детали?
Слайд 2Задача 1.Изготовили 100 деталей,
из которых 97 стандартных
и 3 бракованных.
Какова вероятность выбора стандартной детали и выбора бракованной детали?
Слайд 3Решение.
Если взять 1 деталь, то событие А – деталь стандартная и
событие В – деталь бракованная, не равновозможные.
Событие А более возможно, более вероятно,
чем событие В.
Р(А) = 97 , Р(В) = 3
100 100
Ответ: 0,97 ; 0,03.
Событие А более возможно, более вероятно,
чем событие В.
Р(А) = 97 , Р(В) = 3
100 100
Ответ: 0,97 ; 0,03.
Слайд 4Задача 2.Бросают игральную кость.
Найти вероятность того, что: а) выпадет четное
число очков (А); б) выпадет число очков, кратное 3 (В); в) выпадет любое число очков, кроме 5 (С).
Слайд 5Решение.
а) На гранях игральной кости имеется три четные цифры (2,4,6), т.е.
число искомых исходов m = 3. Число всех возможных исходов n = 6
(выпадает любое число очков от 1 до 6).
Значит, Р(А) = 3 = 1
6 2
б) Имеются две цифры, кратные трем (3,6), m = 2, n = 6.
Р(В) = 2 = 1
6 3
в) Искомыми исходами являются цифры 1,2,3,4,6 - всего их пять
m = 5, n = 6.
Р(С) = 5
6
Ответ: Р(А) = 1 ; Р(В) = 1 ; Р(С) = 5 .
2 3 6
(выпадает любое число очков от 1 до 6).
Значит, Р(А) = 3 = 1
6 2
б) Имеются две цифры, кратные трем (3,6), m = 2, n = 6.
Р(В) = 2 = 1
6 3
в) Искомыми исходами являются цифры 1,2,3,4,6 - всего их пять
m = 5, n = 6.
Р(С) = 5
6
Ответ: Р(А) = 1 ; Р(В) = 1 ; Р(С) = 5 .
2 3 6
Слайд 6Задача 3.Даны 5 точек, никакие
3 из которых не лежат на
одной прямой. Найти вероятность того, что, выбрав наугад 2 точки, ученик получит нужную прямую.
Слайд 7Решение.
Пусть событие А – выбор исходной прямой.
Число всех возможных исходов
равно количеству прямых,
проходящих через заданные 5 точек.
Т.к. прямая определяется парой точек, и порядок точек внутри этой пары
не имеет значения, то каждая пара должна отличаться хотя бы одной точкой. Следовательно, надо найти число сочетаний из 5 элементов по 2:
²
n = С5 = 5! = 5! = 10
(5-2)!2! 3!2!
Значит, число всех возможных пар 10,
а искомой является только одна пара точек, поэтому
Р(А) = 1
10
Ответ: Р(А) = 1
10
проходящих через заданные 5 точек.
Т.к. прямая определяется парой точек, и порядок точек внутри этой пары
не имеет значения, то каждая пара должна отличаться хотя бы одной точкой. Следовательно, надо найти число сочетаний из 5 элементов по 2:
²
n = С5 = 5! = 5! = 10
(5-2)!2! 3!2!
Значит, число всех возможных пар 10,
а искомой является только одна пара точек, поэтому
Р(А) = 1
10
Ответ: Р(А) = 1
10
Слайд 8Задача 4.Набирая номер телефона,
абонент забыл две цифры
и набрал их
наудачу.
Определить вероятность того,
что найдены нужные цифры.
Определить вероятность того,
что найдены нужные цифры.
Слайд 9Решение.
Пусть С – событие, состоящее в том, что набраны
две нужные
цифры.
Всех равновозможных, единственно возможных
и несовместимых случаев набора двух цифр из 10 столько,
сколько можно составить
различных размещений из 10 цифр по 2, т.е.
2
А10 = 10·9 = 90
Благоприятствует событию С только один случай из этих 90.
Таким образом, искомая вероятность Р(С) = 1
90
Ответ: Р(С) = 1
90 .
Всех равновозможных, единственно возможных
и несовместимых случаев набора двух цифр из 10 столько,
сколько можно составить
различных размещений из 10 цифр по 2, т.е.
2
А10 = 10·9 = 90
Благоприятствует событию С только один случай из этих 90.
Таким образом, искомая вероятность Р(С) = 1
90
Ответ: Р(С) = 1
90 .
Слайд 10Задача 5.Буквы а, а, в, к, к, о, х написаны
на
отдельных карточках.
Какова вероятность того,
что извлекая все эти карточки
по одной наудачу
(без возвращения обратно), получим в порядке их выхода слово Каховка?
Какова вероятность того,
что извлекая все эти карточки
по одной наудачу
(без возвращения обратно), получим в порядке их выхода слово Каховка?
Слайд 11Событие А – такое расположение карточек с названными буквами, при котором
составлено было бы
(в порядке их выхода) слово Каховка,
всего равновозможных исходов испытания будет столько, сколько можно сделать перестановок из 7 элементов
n = Р7 = 7! = 5040.
Среди них благоприятными будут те, которые
образуют слово Каховка.
Число их установим так: если бы в этом слове не было повторяющихся букв, то благоприятный исход был бы один. Однако в слове буквы а и к встречаются дважды,
и если их поменяем местами, то снова получим это же слово.
Следовательно, благоприятных исходов окажется не один,
а четыре (m = 4).
Таким образом, вероятность Р(А) = 4 = 1 . 5040 1260
Ответ: Р(А) = 1 .
1260
(в порядке их выхода) слово Каховка,
всего равновозможных исходов испытания будет столько, сколько можно сделать перестановок из 7 элементов
n = Р7 = 7! = 5040.
Среди них благоприятными будут те, которые
образуют слово Каховка.
Число их установим так: если бы в этом слове не было повторяющихся букв, то благоприятный исход был бы один. Однако в слове буквы а и к встречаются дважды,
и если их поменяем местами, то снова получим это же слово.
Следовательно, благоприятных исходов окажется не один,
а четыре (m = 4).
Таким образом, вероятность Р(А) = 4 = 1 . 5040 1260
Ответ: Р(А) = 1 .
1260
Слайд 12Задача 6.Набирая номер телефона,
абонент забыл одну цифру
и набрал ее
наудачу.
Найти вероятность того,
что набрана нужная цифра.
Найти вероятность того,
что набрана нужная цифра.
Слайд 13Пусть В – событие, состоящее в том,
что набрана нужная цифра.
Диск телефонного аппарата содержит 10 цифр, следовательно, общее число возможных случаев
n = 10.
Эти случаи несовместимы, единственно возможны и равновозможны.
Событию В благоприятствует только один случай. Следовательно, искомая вероятность
Р(В) = 1 = 0,1.
10
Ответ: 0,1.
Слайд 14Задача 7.В ящик, имеющий два отделения, брошено два шарика.
Какова вероятность
того,
что в каждом отделении будет находиться один шарик?
что в каждом отделении будет находиться один шарик?
Слайд 15Можно выделить всего 4 равновозможных,
единственно возможных и несовместимых случая:
1) оба
шарика попали в первое отделение;
2) оба шарика попали во второе отделение;
3) первый попал в первое отделение,
второй – во второе;
4) первый попал во второе отделение,
второй – в первое.
Из рассмотренных случаев два благоприятствуют попаданию шаров в различные отделения.
Искомая вероятность Р = 2 = 0,5.
4
Ответ: 0,5.
2) оба шарика попали во второе отделение;
3) первый попал в первое отделение,
второй – во второе;
4) первый попал во второе отделение,
второй – в первое.
Из рассмотренных случаев два благоприятствуют попаданию шаров в различные отделения.
Искомая вероятность Р = 2 = 0,5.
4
Ответ: 0,5.
Слайд 16Задача 8.Декан факультета вызвал
через старосту трех студентов
из группы,
состоящую
из 5 не выполнивших
задания человек.
Староста забыл фамилии
вызванных студентов
и послал наудачу
трех студентов
из указанной группы.
Какова вероятность того,
что к декану явятся
именно вызванные
им студенты?
задания человек.
Староста забыл фамилии
вызванных студентов
и послал наудачу
трех студентов
из указанной группы.
Какова вероятность того,
что к декану явятся
именно вызванные
им студенты?
Слайд 17Число равновозможных, единственно возможных и несовместимых случаев
выбора трех студентов будет
столько,
сколько можно составить различных сочетаний из 5 элементов по 3
3
n = С5 = 5·4·3 = 10,
1·2·3
а благоприятствует условию только один (m = 1).
Искомая вероятность Р = 1 = 0,1.
10
Ответ: 0,1.
сколько можно составить различных сочетаний из 5 элементов по 3
3
n = С5 = 5·4·3 = 10,
1·2·3
а благоприятствует условию только один (m = 1).
Искомая вероятность Р = 1 = 0,1.
10
Ответ: 0,1.
Слайд 18Задача 9.В библиотечке
25 книг.
Наудачу выбирается 3 книги.
Какова вероятность
того,
что будут выбраны
нужные книги?
что будут выбраны
нужные книги?
Слайд 19Всего равновозможных, единственно возможных и несовместимых случаев
будет столько, сколько можно
составить различных размещений из 25 элементов по 3
3
А25 = 25·24·23
а число случаев, благоприятствующих тому,
что будут выбраны нужные три книги,
столько, сколько можно составить
перестановок из 3 элементов Р3 = 3! = 1·2·3.
Искомая вероятность Р = 1·2·3 = 1
25·24·23 2300
Ответ: 1 .
2300
3
А25 = 25·24·23
а число случаев, благоприятствующих тому,
что будут выбраны нужные три книги,
столько, сколько можно составить
перестановок из 3 элементов Р3 = 3! = 1·2·3.
Искомая вероятность Р = 1·2·3 = 1
25·24·23 2300
Ответ: 1 .
2300
Слайд 20Задача 10.Известно, что 5%
всех мужчин
и 0,25% всех женщин –
дальтоники. Наудачу выбранное лицо
страдает дальтонизмом.
Какова вероятность того,
что это лицо – мужчина
(считать, что мужчин и женщин одинаковое число).
страдает дальтонизмом.
Какова вероятность того,
что это лицо – мужчина
(считать, что мужчин и женщин одинаковое число).
Слайд 21Пусть мужчин и женщин будет одинаковое (согласно условию) произвольное число, например,
по10000.
Из 10000 мужчин, страдающих дальтонизмом, будет 10000·0,05 = 500,
а женщин 10000·0,0025 = 25.
Таким образом, из 20000 человек 525
(n = 525) страдают дальтонизмом.
Тогда вероятность того, что наудачу выбранное лицо, страдающее дальтонизмом,
мужчина, равна Р = 500 .
525
Ответ: 500 .
525
Из 10000 мужчин, страдающих дальтонизмом, будет 10000·0,05 = 500,
а женщин 10000·0,0025 = 25.
Таким образом, из 20000 человек 525
(n = 525) страдают дальтонизмом.
Тогда вероятность того, что наудачу выбранное лицо, страдающее дальтонизмом,
мужчина, равна Р = 500 .
525
Ответ: 500 .
525
Слайд 22Задача 11.Проверено 100 деталей.
Среди них оказалось 80 стандартных. Какова относительная
частота появления стандартной детали?
Слайд 23Решение.
Пусть событие А – при проверке деталь
оказалась стандартной.
По определению
относительная частота
появления этого события
W(A) = 80 = 0,8
100
Ответ: 0,8.
появления этого события
W(A) = 80 = 0,8
100
Ответ: 0,8.
Слайд 24Задача 12.Естествоиспытатель К.Пирсон подбрасывал монету
и записывал полученный результат.
Проделав эту
операцию 24000 раз, обнаружил,
что герб выпадал в 12012 случаях.
Какова относительная частота выпадения герба?
что герб выпадал в 12012 случаях.
Какова относительная частота выпадения герба?
Слайд 26Задача 13.Отдел технического контроля обнаружил
5 бракованных книг
в партии из
случайно
отобранных 100 книг.
Найти относительную частоту появления
бракованных книг.
отобранных 100 книг.
Найти относительную частоту появления
бракованных книг.
Слайд 28Задача 14.По цели произведено
20 выстрелов,
причем зарегистрировано
18 попаданий.
Найти относительную частоту
попаданий в цель.
Слайд 30Задача 15.При испытании партии приборов
относительная частота
годных приборов 0,9.
Найти число
годных приборов,
если всего было проверено
200 приборов.
если всего было проверено
200 приборов.
Слайд 32Задача 16.На отрезок ОА длины ℓ числовой оси Ох наудачу поставлена
точка В(x). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую ℓ/3.
Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит
от его расположения на числовой оси.
Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит
от его расположения на числовой оси.
Слайд 33Решение.
Разобьем отрезок ОА точками М и К на три равные части.
Требование
задачи будет выполнено, если точка В(x)
попадет на отрезок МК длины ℓ .
3
Искомая вероятность Р = ℓ : ℓ = 1 .
3 3
Ответ: 1 .
3
попадет на отрезок МК длины ℓ .
3
Искомая вероятность Р = ℓ : ℓ = 1 .
3 3
Ответ: 1 .
3
О
М К
А
В(x)
X
Слайд 34Задача 17.Если абонент ждет телефонного вызова с 2 до 3 часов,
то какова вероятность того, что этот вызов пройдет
с 2ч 30мин до 2ч 40мин.?
Слайд 35Решение.
Пусть событие D – вызов произошел в течение
10мин после половины
третьего.
Изобразим все исходы испытания в виде отрезка ОА
на прямой Ох:
Изобразим все исходы испытания в виде отрезка ОА
на прямой Ох:
Событие D произойдет, если точка (вызов)
окажется на отрезке СВ.
Следовательно, Р(D) = СВ = 1 .
ОА 6
Ответ: 1 .
6
О С В А
х
Слайд 36Задача 18.На листок бумаги в клетку
со стороной 10мм падает кружок
диаметра 2мм.
Какова вероятность того, что кружок целиком попадет внутрь клетки?
Слайд 37Решение.
На рисунке заштрихована область,
попадание центра кружка в которую
дает возможность
утверждать,
что кружок не заденет ни одной из сторон квадрата.
Эта область представляет собой квадрат
со стороной 8мм.
Искомая вероятность равна
Р(А) = 8·8 = 0,64.
10·10
Ответ: 0,64.
что кружок не заденет ни одной из сторон квадрата.
Эта область представляет собой квадрат
со стороной 8мм.
Искомая вероятность равна
Р(А) = 8·8 = 0,64.
10·10
Ответ: 0,64.
2
8
10
Слайд 38Задача 19.В круг, радиус которого равен R, вписан
правильный треугольник.
Какова вероятность
того,
что на удачу взятая точка круга окажется
внутри треугольника?
что на удачу взятая точка круга окажется
внутри треугольника?
А
В
С
к
Слайд 39 Пусть событие D
состоит в том, что наудачу
выбранная точка окажется внутри треугольника.
Так как точка выбирается на удачу, можно допустить,
что все исходы испытания распределены равномерно.
Следовательно, Р(D) = SΔАВС.
Sкруга
Но площадь круга Sкруга = πR²,
а площадь треугольника
SΔАВС = 3√3R² .
4
Отсюда Р(D) = 3√3 R²· πR² ≈ 0,414…
4
Ответ: 0,414.
выбранная точка окажется внутри треугольника.
Так как точка выбирается на удачу, можно допустить,
что все исходы испытания распределены равномерно.
Следовательно, Р(D) = SΔАВС.
Sкруга
Но площадь круга Sкруга = πR²,
а площадь треугольника
SΔАВС = 3√3R² .
4
Отсюда Р(D) = 3√3 R²· πR² ≈ 0,414…
4
Ответ: 0,414.
Слайд 40
А
С
D
А1
В1
С1
D1
Задача 20.Внутри прямоугольного параллелепипеда,
измерения которого равны 4,6,10см,
наудачу выбирается точка
М.
Какова вероятность того,
что она окажется внутри
данного куба,
ребро которого 3см?
Какова вероятность того,
что она окажется внутри
данного куба,
ребро которого 3см?
В
4
6
10
3
3
к
Слайд 41Решение.
Пусть событие N – точка оказалась внутри куба
с ребром, равным
3см.
Будем считать, что исходы испытания
распределены равномерно.
Тогда вероятность наступления события N
пропорциональна мере этого куба и равна
Р(N) = Vкуба
Vпар.
Но объем куба Vкуба = 27см³,
а объем параллелепипеда Vпар. = 240см³.
Следовательно, Р(N) = 27 = 0,1125.
240
Ответ: 0,1125.
Будем считать, что исходы испытания
распределены равномерно.
Тогда вероятность наступления события N
пропорциональна мере этого куба и равна
Р(N) = Vкуба
Vпар.
Но объем куба Vкуба = 27см³,
а объем параллелепипеда Vпар. = 240см³.
Следовательно, Р(N) = 27 = 0,1125.
240
Ответ: 0,1125.
Слайд 42Задача 21.Два друга Х и У условились встретиться в определенном месте
между
12 и 13 часами,
при этом пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит.
Чему равна вероятность встречи друзей Х и У,
если приход каждого из них
в течение указанного часа
может произойти
наудачу и моменты прихода
независимы?
12 и 13 часами,
при этом пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит.
Чему равна вероятность встречи друзей Х и У,
если приход каждого из них
в течение указанного часа
может произойти
наудачу и моменты прихода
независимы?
Х
У
Слайд 43Пусть момент прихода друзей Х и У соответственно x и y.
Для
того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно выполнения неравенства |х-у| ≤ 20, или -20 ≤ х-у ≤ 20.
В прямоугольной системе координат множество точек (х;у),
координаты которых удовлетворяют неравенству, образуют полосу (рис.в):
В прямоугольной системе координат множество точек (х;у),
координаты которых удовлетворяют неравенству, образуют полосу (рис.в):
у
у
у
у
х
х
х
х
20
-20
20
-20
20
20
-20
-20
0
60
60
х-у ≤20
-20≤ х-у
а)
б)
в)
г)
Все возможные исходы изображаются точками квадрата со стороной 60 (минут),
а исходы, благоприятствующие встрече, изображаются в заштрихованной области квадрата (рис.г).
Искомая вероятность Р = Sфигуры = 2000 = 5 = 0,555…≈ 0,56.
Sквадрата 3600 9
Ответ: 0,56.
-20≤ х-у≤ 20
Слайд 44Задача 22.Минное заграждение
поставлено в одну линию
с интервалами между минами
в 100м.
Какова вероятность того,
что корабль шириной 20м, пересекая это заграждение
под прямым углом,
подорвется на мине?
(Размерами мин можно пренебречь).
Какова вероятность того,
что корабль шириной 20м, пересекая это заграждение
под прямым углом,
подорвется на мине?
(Размерами мин можно пренебречь).
Слайд 46Задача 23.Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка.
Найти вероятность того,
что точка
окажется внутри
вписанного
в круг квадрата.
окажется внутри
вписанного
в круг квадрата.
к
Слайд 48Задача 24.В урне 5 белых шаров,
3 черных, 2 в полоску
и 7 в клетку.
Найти вероятность того, что из урны будет извлечен одноцветный шар.
Найти вероятность того, что из урны будет извлечен одноцветный шар.
Слайд 49Решение.
1 способ
Пусть А – событие, состоящее в извлечении белого шара;
В
– черного шара; А+В – одноцветного шара.
Т.к. событию А+В благоприятствует 8 исходов,
а число всех шаров в урне 17, то
Р(А+В) = 8
17
2 способ
Р(А) = 5 , Р(В) = 3 , значит, Р(А)+Р(В) = 8
17 17 17
Ответ: 8 .
17
Т.к. событию А+В благоприятствует 8 исходов,
а число всех шаров в урне 17, то
Р(А+В) = 8
17
2 способ
Р(А) = 5 , Р(В) = 3 , значит, Р(А)+Р(В) = 8
17 17 17
Ответ: 8 .
17
Слайд 50Задача 25.Имеется 100 лотерейных билетов.
Известно, что на 5 билетов попадает
выигрыш
по 20 руб., на 10 – по 15 руб., на 15 – по 10 руб.,
на 25 – по 2 руб. и на остальные – ничего.
Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не меньше 10 руб.
по 20 руб., на 10 – по 15 руб., на 15 – по 10 руб.,
на 25 – по 2 руб. и на остальные – ничего.
Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не меньше 10 руб.
Слайд 51Решение.
Пусть А,В,С – события, состоящие в том,
что на купленный билет
падает выигрыш, равный соответственно 20,15 и 10 руб.
Т.к. события А,В и С несовместны, то
Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С) = 5 + 10 + 15 = 0,3
100 100 100
Ответ: 0,3.
Т.к. события А,В и С несовместны, то
Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С) = 5 + 10 + 15 = 0,3
100 100 100
Ответ: 0,3.
Слайд 52Задача 26.В коробке 250 лампочек, из них
100 по 100 Вт,
50 – по 60 Вт, 50 - по 25 Вт,
50 - по 15 Вт.
Вычислить вероятность того, что мощность любой взятой наугад лампочки
не превысит 60 Вт.
50 - по 15 Вт.
Вычислить вероятность того, что мощность любой взятой наугад лампочки
не превысит 60 Вт.
Слайд 53Решение.
Пусть А – событие, состоящее в том, что мощность лампочки
равна
60 Вт, В – 25 Вт, С – 15 Вт, D – 100 Вт.
События А,В,С,D образуют полную систему, т.к.все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном испытании (выборе лампочки). Вероятность наступления одного из них есть
достоверное событие, т.е. Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D) = 1.
События «мощность лампочки не более 60 Вт»
и «мощность лампочки более 60 Вт» – противоположные.
По свойству противоположных событий
Р(А)+Р(В)+Р(С) = 1- Р(D),
Р(А+В+С) = 1- 100 = 150 = 3
250 250 5
Ответ: 3 .
5
достоверное событие, т.е. Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D) = 1.
События «мощность лампочки не более 60 Вт»
и «мощность лампочки более 60 Вт» – противоположные.
По свойству противоположных событий
Р(А)+Р(В)+Р(С) = 1- Р(D),
Р(А+В+С) = 1- 100 = 150 = 3
250 250 5
Ответ: 3 .
5
Слайд 54Задача 27.В коробке лежат 30 галстуков, причем 12 из них красные,
остальные белые.
Определить вероятность того, что
из 4 наудачу вынутых галстуков все они окажутся одного цвета.
Определить вероятность того, что
из 4 наудачу вынутых галстуков все они окажутся одного цвета.
Слайд 55Решение.
Пусть А – событие, состоящее в том, что все 4 галстука
будут красные,
В – все 4 галстука будут белые.
4 галстука из 30 красных можно выбрать
4 4
С30 способами, а из 12 - можно выбрать С12 способами.
Поэтому вероятность того, что все 4 галстука будут красные, равна
4 4
Р(А) = С12 = 11 , аналогично белые Р(В) = С18 = 68 .
4 609 4 609
С30 С30
Т.к все 4 галстука должны быть одного цвета, то искомая вероятность
Р = Р(А)+Р(В) = 11 + 68 = 79 = 0,13 .
609 609 609
Ответ: 0,13.
В – все 4 галстука будут белые.
4 галстука из 30 красных можно выбрать
4 4
С30 способами, а из 12 - можно выбрать С12 способами.
Поэтому вероятность того, что все 4 галстука будут красные, равна
4 4
Р(А) = С12 = 11 , аналогично белые Р(В) = С18 = 68 .
4 609 4 609
С30 С30
Т.к все 4 галстука должны быть одного цвета, то искомая вероятность
Р = Р(А)+Р(В) = 11 + 68 = 79 = 0,13 .
609 609 609
Ответ: 0,13.
Слайд 56Задача 28.Вероятность того, что студент сдаст экзамен на отлично,
равна 0,2;
на хорошо – 0,4;
на удовлетворительно – 0,3;
на неудовлетворительно – 0,1. Определить вероятность того,
что студент сдаст экзамен.
на удовлетворительно – 0,3;
на неудовлетворительно – 0,1. Определить вероятность того,
что студент сдаст экзамен.
Слайд 57
1 способ.
Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С) = 0,2+0,4+0,3 = 0,9
2 способ.
Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна 1, тогда
Р(А+В+С) = 1 – Р(D) = 1 - 0,1 = 0,9
Ответ: 0,9.
Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С) = 0,2+0,4+0,3 = 0,9
2 способ.
Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна 1, тогда
Р(А+В+С) = 1 – Р(D) = 1 - 0,1 = 0,9
Ответ: 0,9.
Слайд 58Задача 29.У продавца имеется
10 оранжевых,8 синих, 5 зеленых
и 15
желтых шаров.
Вычислите вероятность того,
что купленный шар
окажется оранжевым, синим
или зеленым.
Вычислите вероятность того,
что купленный шар
окажется оранжевым, синим
или зеленым.
Слайд 60Задача 30.В денежно-вещевой лотерее
на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых
и 100 денежных выигрышей.
Определить вероятность
выигрыша
денежного или вещевого
на один лотерейный билет.
Определить вероятность
выигрыша
денежного или вещевого
на один лотерейный билет.
Слайд 62Задача 31.В ящике 10 лампочек по15 Вт,
10 – по 25
Вт, 15 – по 60 Вт и 25 – по 100 Вт.
Определить вероятность того, что взятая наугад лампочка имеет мощность более 60 Вт,
если известно,
что число ватт на взятой лампочке – четное.
Определить вероятность того, что взятая наугад лампочка имеет мощность более 60 Вт,
если известно,
что число ватт на взятой лампочке – четное.
Слайд 63
Решение.
Пусть событие А состоит в том, что лампочка имеет мощность более 60 Вт, а событие В – что число ватт является четным. Но «более 60 Вт» – это в данном случае 100 Вт и, значит, Р(АВ) = 25 = 5 ,
60 12
а «четное число ватт» – это 60 и 100 Вт, т.е. Р(В) = 40 = 2
60 3
Искомая вероятность Рв(А) = Р(АВ) = 5 : 2 = 5 .
Р(В) 12 3 8
Ответ: 5 .
8
Пусть событие А состоит в том, что лампочка имеет мощность более 60 Вт, а событие В – что число ватт является четным. Но «более 60 Вт» – это в данном случае 100 Вт и, значит, Р(АВ) = 25 = 5 ,
60 12
а «четное число ватт» – это 60 и 100 Вт, т.е. Р(В) = 40 = 2
60 3
Искомая вероятность Рв(А) = Р(АВ) = 5 : 2 = 5 .
Р(В) 12 3 8
Ответ: 5 .
8
Слайд 64Задача 32.В первой урне находятся
6 черных и 4 белых шара,
во
второй – 5 черных и 7 белых.
Из каждой урны извлекают
по одному шару.
Какова вероятность того,
что оба шара окажутся
белыми?
Из каждой урны извлекают
по одному шару.
Какова вероятность того,
что оба шара окажутся
белыми?
15
28
Слайд 65Пусть А1 – из первой урны извлечен белый шар;
А2 – из
второй урны извлечен белый шар.
События А1 и А2 независимы.
Р(А1) = 4 = 2 , Р(А2) = 7
10 5 12
Р(А1·А2) = 2·7 = 7 .
5·12 30
Ответ: 7 .
30
События А1 и А2 независимы.
Р(А1) = 4 = 2 , Р(А2) = 7
10 5 12
Р(А1·А2) = 2·7 = 7 .
5·12 30
Ответ: 7 .
30
Слайд 66Задача 33.Прибор состоит из двух элементов,
работающих независимо.
Вероятность выхода из строя
первого элемента равна 0,2;
Вероятность выхода из строя
второго элемента равна 0,3.
Найти вероятность того, что:
а) оба элемента выйдут
из строя;
б) оба элемента будут
работать.
Вероятность выхода из строя
второго элемента равна 0,3.
Найти вероятность того, что:
а) оба элемента выйдут
из строя;
б) оба элемента будут
работать.
Слайд 67Пусть событие А – выход из строя первого элемента, событие Е
– выход
из строя второго элемента. Эти события независимы ( по условию).
а) одновременно появление А и Е есть событие АЕ
Р(АЕ) = 0,2·0,3 = 0,06
б) если работает первый элемент, то имеет место событие Ā (противоположное событию А – выходу этого элемента из строя);
Если работает второй элемент – событие Ē, противоположное событию Е
Р(Ā) =1- 0,2 = 0,8 и Р(Ē) = 1-0,3 = 0,7
Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента,
есть ĀĒ.
Р(ĀĒ) = Р(Ā)·Р(Ē) = 0,8·0,7 = 0,56.
Ответ: 0,56.
из строя второго элемента. Эти события независимы ( по условию).
а) одновременно появление А и Е есть событие АЕ
Р(АЕ) = 0,2·0,3 = 0,06
б) если работает первый элемент, то имеет место событие Ā (противоположное событию А – выходу этого элемента из строя);
Если работает второй элемент – событие Ē, противоположное событию Е
Р(Ā) =1- 0,2 = 0,8 и Р(Ē) = 1-0,3 = 0,7
Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента,
есть ĀĒ.
Р(ĀĒ) = Р(Ā)·Р(Ē) = 0,8·0,7 = 0,56.
Ответ: 0,56.
Слайд 68Задача 34.В экзаменационные билеты включено
по 2 теоретических вопроса
и по 1
задаче.
Всего составлено 28 билетов.
Вычислить вероятность того,
что, вынув наудачу билет,
студент ответит на все вопросы,
если он подготовил
50 теоретических вопросов
и 22 задачи.
Всего составлено 28 билетов.
Вычислить вероятность того,
что, вынув наудачу билет,
студент ответит на все вопросы,
если он подготовил
50 теоретических вопросов
и 22 задачи.
Слайд 69Полный ответ на билет состоит из произведения двух событий:
Студент одновременно ответит
на два вопроса (событие А)
и решит задачу (событие В).
Число всех возможных комбинаций из 56 вопросов по 2
2
С56 = 56! = 54!55·56 = 1540
54!·2! 54!·2
Т.к. студент подготовил только 50 вопросов, то число исходов, благоприятствующих событию А, есть
2 2
С50 = 50! = 48!·49·50 = 1225 , Р(А) = С50 = 1225 = 245
48!·2! 48!·2 2 1540 308
С56
Вероятность события В определяется тем, что студент знает 22 задачи из 28 возможных: Р(В) = 22 = 11.
28 14
Т.к. события А и В независимы и должны выполняться одновременно, то Р(АВ) = Р(А)·Р(В) = 245·11 = 0,625.
308·14
Ответ: 0,625.
и решит задачу (событие В).
Число всех возможных комбинаций из 56 вопросов по 2
2
С56 = 56! = 54!55·56 = 1540
54!·2! 54!·2
Т.к. студент подготовил только 50 вопросов, то число исходов, благоприятствующих событию А, есть
2 2
С50 = 50! = 48!·49·50 = 1225 , Р(А) = С50 = 1225 = 245
48!·2! 48!·2 2 1540 308
С56
Вероятность события В определяется тем, что студент знает 22 задачи из 28 возможных: Р(В) = 22 = 11.
28 14
Т.к. события А и В независимы и должны выполняться одновременно, то Р(АВ) = Р(А)·Р(В) = 245·11 = 0,625.
308·14
Ответ: 0,625.
Слайд 70Задача 35.В Санкт-Петербург – 16 мест на практику,
в Киев –
10, в Баку – 5.
Какова вероятность того,
что определенные три студента
попадут в один город?
Какова вероятность того,
что определенные три студента
попадут в один город?
Практика
Слайд 71Событие Е – определенные три студента попадут в один город.
Это событие
может реализоваться:
или в виде события С1 – указанные 3 студента попадут
в С.- Петербург;
или в виде события С2 – попадут в Киев;
или в виде события С3 – попадут в Баку.
Каждое из этих событий можно рассматривать как совмещение трех событий.
Например, событие С1 – в С.-Петербург попадут и первый из указанных студентов (событие А1), и второй студент
(событие А2), и третий из указанных студентов
(событие А3).
Вероятности этих событий
Р(А1) = 15 , Р(А2) =РА1(Е) = 14 , Р(А1) = РА2(Е) = 13
30 29 28
Аналогично можно рассматривать и события С2 и С3.
По правилам сложения и умножения вероятностей
Р(Е) = 15·14·13 + 10· 9 · 8 + 5 · 4· 3 = 88
30·29·28 30·29·28 30·29·28 609
Ответ: 88 .
609
или в виде события С1 – указанные 3 студента попадут
в С.- Петербург;
или в виде события С2 – попадут в Киев;
или в виде события С3 – попадут в Баку.
Каждое из этих событий можно рассматривать как совмещение трех событий.
Например, событие С1 – в С.-Петербург попадут и первый из указанных студентов (событие А1), и второй студент
(событие А2), и третий из указанных студентов
(событие А3).
Вероятности этих событий
Р(А1) = 15 , Р(А2) =РА1(Е) = 14 , Р(А1) = РА2(Е) = 13
30 29 28
Аналогично можно рассматривать и события С2 и С3.
По правилам сложения и умножения вероятностей
Р(Е) = 15·14·13 + 10· 9 · 8 + 5 · 4· 3 = 88
30·29·28 30·29·28 30·29·28 609
Ответ: 88 .
609
Слайд 72Задача 36.Какова вероятность того,
что при 10 бросаниях игрального кубика «четверка»
выпадет: а) ровно 3 раза;
б) ровно 2 раза; в) ровно 6 раз;
г) не выпадет ни разу?
б) ровно 2 раза; в) ровно 6 раз;
г) не выпадет ни разу?
Слайд 73
Решение.
Число n независимых повторений (бросаний) равно 10.
Число k «успехов» равно 3.
Вероятность p «успеха», т.е.вероятность выпадения «четверки» при одном бросании кубика, равна 1 , а вероятность «неудачи» равна 5 .
6 6
3 3 7
а) Р10(3) = С10 (1)(5) = 120·0,00129 ≈0,155
6 6
2 2 8 6 6 4
б) Р10(2) = С10 (1)(5) в) Р10(6) = С10 (1)(5)
6 6 6 6
0 0 10 10
г) Р10(0) = С10(1)(5) = (5)
6 6 6 Ответ: а) 0,155.
Число n независимых повторений (бросаний) равно 10.
Число k «успехов» равно 3.
Вероятность p «успеха», т.е.вероятность выпадения «четверки» при одном бросании кубика, равна 1 , а вероятность «неудачи» равна 5 .
6 6
3 3 7
а) Р10(3) = С10 (1)(5) = 120·0,00129 ≈0,155
6 6
2 2 8 6 6 4
б) Р10(2) = С10 (1)(5) в) Р10(6) = С10 (1)(5)
6 6 6 6
0 0 10 10
г) Р10(0) = С10(1)(5) = (5)
6 6 6 Ответ: а) 0,155.
Слайд 75
Решение.
«Успех» означает выпадение «орла» и его вероятность p = 0,5.
«Неудача» означает выпадение «решки» и ее вероятность q = 0,5.
Бросания предполагаем независимыми друг от друга.
Это частный случай общей схемы Бернулли, в котором
n=9, k = 4, p = 0,5, q = 0,5.
По формуле Бернулли
4 4 9-4 9
Р9(4) = С9(0,5)(0,5) = 9! · (1) = 6·7·8·9 · 1 = 7·2·9 = 63 ≈ 0,246
4!5! 2 1·2·3·4 512 512 256
Ответ: 0,246.
«Успех» означает выпадение «орла» и его вероятность p = 0,5.
«Неудача» означает выпадение «решки» и ее вероятность q = 0,5.
Бросания предполагаем независимыми друг от друга.
Это частный случай общей схемы Бернулли, в котором
n=9, k = 4, p = 0,5, q = 0,5.
По формуле Бернулли
4 4 9-4 9
Р9(4) = С9(0,5)(0,5) = 9! · (1) = 6·7·8·9 · 1 = 7·2·9 = 63 ≈ 0,246
4!5! 2 1·2·3·4 512 512 256
Ответ: 0,246.
Слайд 76Задача 38.За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,1.
Найти вероятность
того,
что при 5 выстрелах он хотя бы раз попадет
в мишень.
что при 5 выстрелах он хотя бы раз попадет
в мишень.
Слайд 77
Решение.
Считаем, что все 5 выстрелов производятся независимо друг от друга.
«Успех» означает попадание в мишень при одном выстреле.
Его вероятность p = 0,1.
«Неудача» означает выстрел мимо мишени.
Ее вероятность равна q = 1-0,1 = 0,9.
Число k «успехов» отлично от нуля: kЄ {1,2,3,4,5},
n =5, p = 0,1, q = 0,9.
А – событие, заключающееся в том, что при 5 выстрелах
будет хотя бы 1 попадание.
Тогда Ā – событие, при котором число «успехов» равно нулю, т.е.стрелок все 5 раз «промазал».
0 0 5 5
Р(А) = 1- Р(Ā) = 1- Р5(0) = 1- С5·0,1·0,9 = 1- 0,9 ≈ 1-0,5905 ≈ 0,4095
Ответ: 0,4095.
Считаем, что все 5 выстрелов производятся независимо друг от друга.
«Успех» означает попадание в мишень при одном выстреле.
Его вероятность p = 0,1.
«Неудача» означает выстрел мимо мишени.
Ее вероятность равна q = 1-0,1 = 0,9.
Число k «успехов» отлично от нуля: kЄ {1,2,3,4,5},
n =5, p = 0,1, q = 0,9.
А – событие, заключающееся в том, что при 5 выстрелах
будет хотя бы 1 попадание.
Тогда Ā – событие, при котором число «успехов» равно нулю, т.е.стрелок все 5 раз «промазал».
0 0 5 5
Р(А) = 1- Р(Ā) = 1- Р5(0) = 1- С5·0,1·0,9 = 1- 0,9 ≈ 1-0,5905 ≈ 0,4095
Ответ: 0,4095.
Слайд 78Задача 39.В следующих испытаниях найдите
вероятности «успеха» и «неудачи»:
а) Бросают пару
различных монет. «Неудача» – выпадение двух орлов.
б) Бросают игральный кубик.
«Успех» – выпадение числа,
кратного трем.
в) Бросают пару различных кубиков.
«Неудача» – выпадение двух
четных чисел.
г) Из 36 игральных карт берут 5.
«Успех» – среди них нет дамы пик.
б) Бросают игральный кубик.
«Успех» – выпадение числа,
кратного трем.
в) Бросают пару различных кубиков.
«Неудача» – выпадение двух
четных чисел.
г) Из 36 игральных карт берут 5.
«Успех» – среди них нет дамы пик.
Слайд 80Задача 40.Напишите формулы,
по которым
следует находить вероятность того, что при
4 бросаниях игрального кубика «тройка» выпадет:
а) ровно 2 раза
б) ровно 3 раза
в) ровно 4 раза
г) не выпадет ни разу
д) вычислите вероятности
этих событий
а) ровно 2 раза
б) ровно 3 раза
в) ровно 4 раза
г) не выпадет ни разу
д) вычислите вероятности
этих событий
Слайд 81 2
2 2
а) С4 ·(1)·(5) ; 0,1157
6 6
3 3
б) С4 ·(1)·5 ; 0,0154
6 6
4 4
в) С4 ·(1) ; 0,00077
6
0 4
г) С4· (5) ; 0,4822
6
а) С4 ·(1)·(5) ; 0,1157
6 6
3 3
б) С4 ·(1)·5 ; 0,0154
6 6
4 4
в) С4 ·(1) ; 0,00077
6
0 4
г) С4· (5) ; 0,4822
6
