Презентация, доклад на тему Задачи для практикума по решению задач с экономическим содержанием для 10-11 класса тема 4

Ирина Петровна
Учитель математики и экономики ГБОУ Школа № 1355 г. Москвы

Тема 4.
Задачи на оптимизацию.

решения поставленной задачи. Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию или экстремальные задачи.
Эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. Как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества.

Составить функцию, которую необходимо оптимизировать.
Найти ее производную.
Приравнять к нулю, чтобы выявить критические точки. В них функция принимает наименьшее или наибольшее значения.
Подставив найденные значения в функцию, получим ответ задачи.

В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Так как стоимость 1м ² стандартного номера дороже, то выгоднее разместить на этой площади больше номеров стандартных, и как можно меньше номеров «люкс».

Пусть L-число номеров Люкс, а S – стандартных.
Если L=0, то 1099 не делится на 21 нацело.
Если L=1, то S=(1099- 49): 21=1050 :21=50( ном.)
Тогда в сутки отель может заработать:
50∙ 2000 + 1∙ 4500=104500 (р.).
Ответ: 104500 рублей.

2-й способ:
с помощью составления линейной функции.

Функция возрастает, значит, наибольшее значение принимает при Х нб, т. е при Х=50. Значит, у=1
S(x, y) =2000∙50 + 4500∙1=104500(р.)

Ответ: 104500 рублей.

Пусть х – стандартных номеров, у- номеров «люкс». Их общая площадь 21х+49у =1099

Тогда сумма дохода: S(x, y) =2000∙x + 4500∙y=

на­чин­ки: ягод­ная и тво­рож­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным видом про­дук­та.

Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль, ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков за 1 месяц.

При­быль за­во­да с 1 тонны про­дук­ции с ягод­ной на­чин­кой равна 100 − 70 = 30 тыс. руб.,
с 1 тонны с тво­рож­ной :135 − 100 = 35 тыс. руб., а
общая при­быль с про­из­ведённой за месяц про­дук­ции равна 30 · 90x + 35 · 75y = 2700x + 2625y.
Т. о. надо найти наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния 75 · (36x + 35y) при выполнении условия (*), т.е.
Итак, получаем: 36x + 35(1 − x) = 35 + x. Вы­ра­же­ние 35 + x при усло­ви­ях  (*)

при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при 
По­это­му мак­си­маль­но воз­мож­ная при­быль за­во­да за месяц равна 2685 тыс. руб. 

Ответ: 2685000 руб.

На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свеклу – по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение:
Пусть x га отведено на первом поле под картофель, тогда (10-х) га под свеклу( 0≼ x ≼10),
D (руб.)– общий доход с двух полей.

Тогда D =5000(500х+300у) + 8000(8000-300х-500у) = 2500000x+1500000y+64000000-2400000x-
-4000000y=100000x-2500000y+64000000=100000(x-25y+640).
При х=10 и у=0 это выражение принимает наибольшее значение, равное 65000000 руб.

Ответ: 6500000 руб.

В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3кг алюминия или 1кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на металлургический завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Так как в промышленности для сплава нужно в 2 раза больше алюминия, чем никеля,
то 5х+15у= 2(3000-15х-5у), откуда у= 240-х
Функция выпуска сплава m(х,у)=5х+15у+3000-15х-5у=3000-10х-10у= 3000-10х-10(240-х)= 5400-20х
Очевидно, что максимальное значение m(х)=5400 достигается при х=0
Это значит, что на первой шахте все рабочие будут добывать никель, а на второй 240 человек будут добывать алюминий, а 60 человек – никель.
Ответ: 5400 кг сплава будет ежедневно выпускать промышленность.

Затраты на производство х тыс. ед. продукции в этом цехе равны 0,5х2+4х+19 млн. руб. в год. Если продукцию продать по цене а тыс. руб. за единицу, то прибыль фирмы (в млн. руб.) за один год составит ах-(0,5х2+4х+19). Когда цех будет построен, фирма «Дальвент» станет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении а строительство цеха окупится не более, чем за три года?

Ответ: а=12.

кирпичей. В 2015 году на заводе в Хабаровске установили современное оборудование, поэтому рабочие этого завода суммарно трудятся t2 часов в неделю и выпускают при этом 2t единиц продукции. Рабочие в Благовещенске трудятся суммарно t2 часов, но выпускают t единиц продукции. Ставка заработной платы рабочего на обоих заводах составляет 500 рублей в час. А общая плата рабочим обоих заводов составляет 30250000 рублей в неделю. Какое максимальное количество единиц продукции в неделю могут выпускать оба завода?

Решение:

средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% – в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

Ре­ше­ние: Пусть у банка имеется Х средств, Р- чистая прибыль, k –выплаты % клиентам. Для того, чтобы получить максимальную и минимальную прибыль составляем выражения:

1 проект: 0,32·0,3Х≼Р1≼0,37·0,3Х
2 проект: 0,22·0,7Х≼Р2≼0,27·0,7Х
Выплаты: 0,1Х≼k≼0,2Х
Р =Р1+Р2-k
0,096X+0,154X-0,1X≼P≼0,111X+0,189X-0,2X
0,05X≼P≼0,2X
Т.о. минимальная прибыль 5%, а максимальная 20%
Ответ: 5%, 20%

того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v , при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

Решение:
Пусть Х км- путь до встречи, тогда время до встречи

Все время прогулки Алексея составляет:
Рассмотрим функцию :

Ответ: 6 км/ч; 4 часа 10 минут.