Презентация, доклад на тему Урок-презентация по теме Линейные уравнения с параметрами

цветка. М. Цветаева.

Математика дает универсальные инструменты для изучения связей, зависимостей между различными величинами. Её изучение делает шире и богаче наши возможности математического описания окружающего мира.

Краснинская СОШ
Серова Надежда Николаевна

параметрами; в) системы допустимых значений параметров;
г) равносильность для уравнений с параметрами.
2) Рассмотреть общие принципы аналитического решения линейных уравнений с параметрами.
3) Систематизировать знания по данной теме, развивать аналитическое мышление и воспитывать целеустремленность.

, где
переменные.
Переменные , которые при решения уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Параметры договорились обозначать первыми буквами латинского алфавита , а неизвестные Исследовать и решить уравнение с параметрами – это значит:
1.Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

, при которых левая и правая части неравенства имеют смысл в области действительных чисел, называют системой
допустимых значений
параметров.

Теорема.
Два уравнения, со-держащие одни и те же параметры, называют равносильными, если: они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

В процессе решения существенную роль
играет теорема о равносильности.

при любом а
5х = а. Ответ: при любом а
х : 2 = а. Ответ: х =2а при любом а
|x| = |a|. Ответ: при любом а
х3 = а. Ответ: при любом а

при а ; при а = 0 корней нет.

0 . х = а.

Ответ: при корней нет; при а = 0 х - любое число.

.

Ответ: при а > 0 ; при а < 0 корней нет.

- выражения, зависящие от параметров,
переменная, называют линейным.

Перепишем уравнение в виде:
Это канонический (стандартный) вид линейного уравнения с параметром.
Решить уравнение с параметром а – это значит для каждого значения а найти значение х, удовлетворяющее этому уравнению.

Аx=B

любом значении x это равенство верно. Значит уравнение имеет бесчисленное множество корней, x– любое число.

2)Если А=0,В , то уравнение примет вид 0x=В. Корней нет.

3) Если А , то уравнение имеет единственный
корень:

Аx=B

.
Решение. Очевидно, что Умножив обе части уравнения на получим а = x – 2 значит х = а + 2. Проверим, нет ли таких значений параметра а, при котором найденное значение х было бы равно числу 2, т.е. решим уравнение 2 = а + 2 относительно а. Получим, что при а = 0 х = 2, но число 2 не входит в область определения, следовательно, не может быть его корнем.
Ответ: при а = 0 корней нет; при х = а + 2

+ + x2

Решение. Приведем уравнение к каноническому виду, получим:
(a + b) x = a + .
Допустимые значения переменных: а и х – любые числа,
b – любое число, кроме 0. Значит, при b= 0 уравнение не имеет корней.
2. Если а + b = 0 ( ) , т.е. а = - b, то уравнение принимает вид 0 • х = 0 и имеет бесконечное множество корней.
Если , то уравнение имеет единственный корень


Ответ: при b = 0 корней нет; при а = - b ( ) х – любое число;

при .

– 1 = 4а – 7 имеет три различных корня.

Решение. Запишем уравнение в каноническом виде
(2а - 4) х = 3а – 6.
Линейное уравнение может иметь единственный корень, либо не иметь корней, либо иметь их бесконечное множество.
Так как данное уравнение имеет три корня, значит оно имеет вид 0 • х = 0 . Отсюда должны выполняться условия 2а – 4 = 0 и 3а – 6 = 0. Тогда а = 2.
Ответ: а = 2.

равенство верно при любом х, значит
х

2) При а=2 уравнение примет вид 0х=1. Корней нет.

3) При и уравнение имеет один корень:

или

Ответ: 1).При а=1, х- любое число,
2).При а=2, решений нет,
3).При и , .

Пример 4: Исследовать и решить уравнение с параметром:

и правую часть уравнения. Получим:

1) Если а=1, то уравнение примет вид: 0x=0. Уравнение имеет бесчисленное множество корней. х

2)Если , то уравнение имеет один корень

или

Ответ: 1).При а=1, х- любое число,

2).При , .

Графическая иллюстрация исследования по параметру а:

б) Выясним, при каких значениях параметра m x=-3.

Ответ: 1)При единственное решение .

2)При m=2,25 .
3) При m=-0,4 .
4) При m=1 уравнение не определено или не имеет смысла.

-канонический вид линейного уравнения с параметром, наиболее удобный для исследования.

то есть, при m=-0,4

а) Если , то существует единственное решение:

в) Если m=2,25, то 0x=26,5, следовательно, решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру а:

параметра а уравнение
4 (х – 2) = а – 15 имеет отрицательный корень.

Найдите значения параметра а, при которых уравнение

не имеет корней.

Решить уравнение |x – 2| + |x + a| = 0.

полезно тогда, когда формулируются некоторые общие свойства, присущие не одному конкретному уравнению, а целому классу уравнений. Разумеется, то, что в уравнении одни буквы мы считаем неизвестными, а другие – параметрами, в значительной степени условно. В реальной практике из одного и того же соотношения между переменными приходится выражать одни переменные через другие, то есть решать уравнение относительно одной буквы, считая ее обозначением неизвестного, а другие буквы параметрами.

для решения уравнения;
2) Исследовать решения уравнения в зависимости от изменения значений параметров.

распадается на два шага –преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения.

методов исследования систем линейных уравнений с большим количеством неизвестных, которые имеют широкое применение на практике.

нескольких сотен уравнений с таким же примерно числом неизвестных. Для их решения разработаны мощные машинные методы. Основную роль при этом играют компактные способы записи систем и их преобразований. Представьте себе: система из тысячи уравнений с тысячью неизвестными содержит миллион коэффициентов.

дает нам универсальные методы для будущей профессиональной работы в области ЭКОНОМИКИ.

начала анализа»
М.И.Башмаков. Москва. «Просвещение». 1992.
«Практикум по элементарной математике». Алгебра. В.Н.Литвиненко, А.Г.Мордкович.
Газета «Математика» №1,2,3 – 2010 г.