Презентация, доклад на тему Тренажёр Решу ЕГЭ:цифровая запись числа часть 2

Пусть наше число имеет вид abcd. Тогда имеем a+b+c+d=abcd Т к число делится на 4, 10c+dделится на 4. Если среди цифр есть хотя бы три единицы, то равенство невозможно, т к сумма будет больше произведения. То же самое, если единиц меньше, чем две. В этом случае произведение будет слишком большое. Т о, среди цифр есть ровно две единицы. Рассмотрим двузначные числа, которые делятся на 4, это концовка нашего числа. Нельзя брать числа с 0, т к произведение равно нулю
12: одна из оставшихся цифр 1, а другая — 4.
16: одна из оставшихся цифр 1, а другая не подойдёт.
24: значит, оставшиеся цифры — единицы.
Остальные числа будут давать слишком большое произведение или нечётную сумму.
Т о, исходные числа: 1412, 4112, 1124.

1

Пусть число имеет вид abcd Произведение цифр числа равно 12, то есть abcd=12=3•4=3•2•2, откуда получаем, что abcdможет быть на­бо­ром цифр: 1, 2, 2, 3; 1, 1, 3, 4. Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на нечётных местах равна сумме цифр, стоящих на чётных местах. Наименьшее число, удовлетворяющее этому требованию и состоящее из имеющихся наборов цифр, — 1232.

2

Если хотя бы одна цифра в за­пи­си числа — нуль, то произведе­ние цифр равно 0, а тогда их сумма равна 1. Единственное такое четырёхзначное число — 1000, но оно не кратно 19. Поэтому нулей среди цифр нет. Отсюда следует, что все цифры не мень­ше 1, и их сумма не меньше 4, а значит, произведение цифр не меньше трёх. Чтобы произведение было не меньше трёх хотя бы одна из цифр должна быть больше 1. Рассмотрим числа в порядке возрастания суммы их цифр.
Если сумма цифр равна 5, то число записывается одной 2 и тремя 1(это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Произведение цифр равно 2, поэтому они не удовлетворяют условию.
Если сумма цифр равна 6, то число записывается одной 3 и тремя 1или двумя 2 и двумя 1(это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Произведение цифр равно 3 или 4 соответственно, поэтому такие числа не удовлетворяют условию.
Если сумма цифр равна 7, то произведение должно быть равно 6. Это выполнено для чисел, записываемых 3, 2и двумя 1. Поскольку число 3211 кратно 19, оно и является искомым.

3

Чтобы число делилось на 24 оно должно делится на 3 и на 8.
Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, делящееся на 8. Искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000.
Число делится на 3, если его сумма цифр числа делится на 3. Поскольку три последние цифры числа 0, первые три должны быть 1.
Т о, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.
 

4

Число при делении на 2 даёт остаток 1, следовательно, оно нечётное. При делении на 3 число даёт остаток 2, то есть число имеет вид 3к+2 При делении на 5 число даёт остаток 3, т е число имеет вид 5m+3,т е число может оканчиваться либо на 3, либо на 8. Число нечётное, следовательно, может оканчиваться только на тройку. Учитывая, что число оканчивается на 3: 3k+2=10n+3 не меньше100.Перебирая значения n, что при n=17получаем число, удовлетворяющее условиям задачи. Это число 173.

5

По модулю 6 и 11 число имеет одинаковые остатки, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 66, причём этот остаток не равен нулю и меньше шести. Таким образом, искомое число может иметь вид:66n+1,66n+2,66n+3,66n+4,66n+5 При n=1получаем: 67, 68, 69, 70, 71. Все эти числа не являются трёхзначными.
При n=2получаем: 133, 134, 135, 136, 137. Число 135 удовлетворяет всем условиям задачи

6

Если число делится на 27, тогда оно делится на 3 и на 9. Число делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9. Число делится на 3, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3. Заметим, что, если число делится на 9, то оно делится и на 3 (но необязательно, что делится на 27). Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Вычеркнув цифры 2, 4 и 6, получим число, сумма цифр которого равна девяти. 135 делится на 27.
 

7