: Хадеева З.М.
Альметьевск 2014г.
- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад на тему Производная и её применение
Содержание
- 1. Производная и её применение
- 2. Преподавание математики не может стоять на должном
- 3. Определение. Производной функции y=f(x), заданной на некотором
- 4. Алгоритм нахождения производной (для функции y=f(x)). Зафиксировать
- 5. Пример. Найти производную функции у=2х+3 в точке х=3
- 6. Физический смысл производной Если при прямолинейном движении
- 7. примерТело движется по прямой так, что расстояние
- 8. Геометрический смысл производной Если в точке
- 9. Пример На рисунке изображен график функции y=f(x)
- 10. Решение.Значение производной f(x) в точке
- 11. Уравнение касательной к графику функцииУравнение касательной к
- 12. 1. Обозначить абсциссу точки касания .2.Вычислить f(
- 13. Вычисление производныхФормулами дифференцирования обычно называют формулы для нахождения производных конкретных функций.
- 14. Формулы дифференцирования
- 15. Формулы дифференцирования
- 16. Правила дифференцирования Теорема 1. Если функции
- 17. Теорема 2 Если функция y=f(x) имеет производную
- 18. Теорема 3. Если функции y=f(x) и y=g(x)
- 19. Теорема 4 Если функции y=f(x) и y=g(x)
- 20. Слайд 20
- 21. Примеры. Найти производные функций. 1.2.3.4.5.Решения1.2.3.4.5.
- 22. Применение производной при исследовании функцииПример 1. Функция
- 23. Решение.Рис.3Пусть α –угол касательной, проведенной к графику
- 24. Пример 2На рисунке 2
- 25. Рис.4Ответ: -4; -0,5; 3; 7.
- 26. Пример 3. На рисунке 5 изображен график
- 27. Решение. Производная функции положительна в тех целых
- 28. Пример 4. На рисунке 5
- 29. Рис.7Ответ:5
- 30. Пример 5. На рисунке 2
- 31. Рис.84
- 32. Пример 6. На рисунке 2
- 33. Рис.93,5
- 34. Пример 7. На рисунке
- 35. Рис.10
- 36. Пример 8. На рисунке
- 37. Рис.11-43
- 38. Пример 9. На рисунке
- 39. Рис.12-3-0,537
- 40. Пример 10На рисунке 13 изображен график производной
- 41. Решение. Угловой коэффициент касательной
- 42. Пример 11. На рисунке
- 43. у=-4Рис.15
- 44. Пример 12. К графику функции y=f(x) проведена
- 45. Пример 14. На
- 46. Рис.17
- 47. Историческая справкаВ классическом дифференциальном исчислении производная чаще
- 48. Русский термин «производная функции» впервые употребил В.
- 49. Общее понятие производной было сделано независимо друг
- 50. Конец XVI – середина XVII веков ознаменовались
- 51. Спасибо за внимание!
- 52. Рис.2
- 53. Рис.1
- 54. Рис.5
Преподавание математики не может стоять на должном уровне, а знания обучающихся не будут достаточно полными и прочными, если в работе преподавателя отсутствует система повторительно-обобщающих уроков. Правильно организованное заключительное повторение способствует объединению в целое материала, выделению общих
Слайд 1ГАОУ ВПО «Альметьевский государственный институт муниципальный службы»
факультет СПО
Производная и ее применения
Автор
Слайд 2Преподавание математики не может стоять на должном уровне, а знания обучающихся
не будут достаточно полными и прочными, если в работе преподавателя отсутствует система повторительно-обобщающих уроков. Правильно организованное заключительное повторение способствует объединению в целое материала, выделению общих идей, систематизирует знание учащихся путем раскрытия новых связей и углубления уже известного. При этом знания учащихся уточняются, становятся более прочными и осознанными, повышается их общая математическая культура.
Слайд 3Определение. Производной функции y=f(x), заданной на некотором интервале (a;b), в точке
х этого интервала, называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производную функции f(x) обозначают f '(x) и говорят: «эф штрих от икс». Следовательно,
Производную функции f(x) обозначают f '(x) и говорят: «эф штрих от икс». Следовательно,
Понятие производной
Слайд 4Алгоритм нахождения производной (для функции y=f(x)).
Зафиксировать значение х, найти f(x).
Дать аргументу
х приращение ∆х, перейти в новую точку х+∆х, найти f(x+∆x).
Найти приращение функции: ∆у=f(x+∆x)–f(x).
Составим отношения .
Вычислить
Этот предел и есть f '(x).
Найти приращение функции: ∆у=f(x+∆x)–f(x).
Составим отношения .
Вычислить
Этот предел и есть f '(x).
Слайд 6Физический смысл производной
Если при прямолинейном движении путь s, пройденной точкой, есть
функция от времени t, т.е. s=f(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t)=f '(t), этот факт выражает механический смысл производной.
Слайд 7пример
Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от
него до точки В этой прямой изменяется по закону (t – время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/ ?
Решение. Из механического смысла производной имеем скорость – это производная пути по времени. Скорость изменяется по закону . Так как ускорение – это производная скорости по времени, то ускорение изменяется по закону
, с другой стороны ускорение равно 36 м/ . Решим уравнение , t=5 c.
Ответ: через 5 секунд.
Решение. Из механического смысла производной имеем скорость – это производная пути по времени. Скорость изменяется по закону . Так как ускорение – это производная скорости по времени, то ускорение изменяется по закону
, с другой стороны ускорение равно 36 м/ . Решим уравнение , t=5 c.
Ответ: через 5 секунд.
Слайд 8Геометрический смысл производной
Если в точке к графику функции
y=f(x) проведена касательная, то число f '( ) есть тангенс угла альфа между этой касательной и положительным направлением оси ОХ, т.е. f '( )=tgα. Этот угол называю углом наклона касательной. Этот факт выражает геометрический смысл производной.
Слайд 9Пример
На рисунке изображен график функции y=f(x)
и касательная к нему
в точке с абсциссой .
Найдите значение производной функции f(x)
в точке .
Найдите значение производной функции f(x)
в точке .
Рис.1
Слайд 10Решение.
Значение производной f(x) в точке есть значение тангенса
угла, образованного касательной к графику функции с положительным направлением оси ОХ. Из треугольника АВС
Ответ: 1,75.
Ответ: 1,75.
(рис.1).
Слайд 11Уравнение касательной к графику функции
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в
точке графика с абсциссой :
. Если функция f(x) не имеет производной в точке , но непрерывна в этой точке, то у графика функции в этой точке либо вообще нет касательной, либо есть вертикальная касательная.
. Если функция f(x) не имеет производной в точке , но непрерывна в этой точке, то у графика функции в этой точке либо вообще нет касательной, либо есть вертикальная касательная.
Слайд 121. Обозначить абсциссу точки касания .
2.Вычислить f( ).
3.Найти
f '(x) и вычислить f '( ).
4.Подставить найденные числа , f( ), f '( ) в общее уравнение касательной
y = f( ) = f '( )(x – ).
4.Подставить найденные числа , f( ), f '( ) в общее уравнение касательной
y = f( ) = f '( )(x – ).
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)
Слайд 13Вычисление производных
Формулами дифференцирования обычно называют формулы для нахождения производных конкретных функций.
Слайд 16Правила дифференцирования
Теорема 1.
Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную
в точке x, то и их сумма имеет производную в точке x, причем производная суммы равна сумме производных:
Слайд 17Теорема 2
Если функция y=f(x) имеет производную в точке х, то
и функция y=kf(x) имеет производную в точке х, причем
Слайд 18Теорема 3
. Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке
x, то и их произведение имеет производную в точке x, причем
Слайд 19Теорема 4
Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке
x и в этой точке g(x) ≠0,
то функция
имеет производную в точке х, причем
то функция
имеет производную в точке х, причем
Слайд 20
Теорема 5
Если функция f имеет производную в точке
а функция имеет производную в точке ,
то сложная функция также имеет производную в точке , причем
Слайд 22Применение производной при исследовании функции
Пример 1.
Функция y=f(x) определена на промежутке
(-5;9). На рисунке 2 изображен график производной этой функции. Определите число касательных к графику функции y=f(x), которые наклонены под углом
к положительному направлению оси абсцисс.
Рис.2
Слайд 23Решение.
Рис.3
Пусть α –угол касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке
, и положительным направлением оси абсцисс, тогда .
Так как , то для решения задачи достаточно определить количество точек пересечения графика функции и прямой у=1. Таких точек четыре.
У=1
Слайд 24Пример 2
На рисунке 2 изображен график
производной функции y=f(x) найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой у=1 или совпадает с ней.
Решение. Так как касательная параллельна прямой у=1, то ее угловой коэффициент равен 0 и тогда производная равна 0. По графику (рис.2) определяем, что производная обращается в ноль при х=-4; х=-0,5; х=3; х=7.
Решение. Так как касательная параллельна прямой у=1, то ее угловой коэффициент равен 0 и тогда производная равна 0. По графику (рис.2) определяем, что производная обращается в ноль при х=-4; х=-0,5; х=3; х=7.
Рис.2
Слайд 26Пример 3.
На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на
промежутке . Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна.
Рис.5
Слайд 27Решение.
Производная функции положительна в тех целых точках, которые принадлежат какому-нибудь
промежутку возрастания, за исключением точек, в которых производная равна нулю (в этих точках касательная к графику функции параллельна оси ОХ) или не существует. По рисунку 2 определяем абсциссы таких точек: -4; -3; 2; 3; 4. Таких точек пять.
Рис.6
Слайд 28Пример 4.
На рисунке 5
изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение. Производная функции отрицательна в тех целых точках, которые принадлежат какому-нибудь промежутку убывания функции, за исключением точек, в которых производная равна нулю (в этих точках касательная к графику функции параллельна оси ОХ) или не существует. По рисунку определяем абсциссы таких точек: -1; 0; 6; 7; 8. Таких точек пять.
Решение. Производная функции отрицательна в тех целых точках, которые принадлежат какому-нибудь промежутку убывания функции, за исключением точек, в которых производная равна нулю (в этих точках касательная к графику функции параллельна оси ОХ) или не существует. По рисунку определяем абсциссы таких точек: -1; 0; 6; 7; 8. Таких точек пять.
Рис.5
Слайд 30Пример 5.
На рисунке 2
изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите промежутки возрастания функции y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение. Промежуткам возрастания функции соответствуют промежутки, на которых производная данной функции положительна. По графику определяем, что наибольший из этих промежутков имеет длину 4.
Решение. Промежуткам возрастания функции соответствуют промежутки, на которых производная данной функции положительна. По графику определяем, что наибольший из этих промежутков имеет длину 4.
Рис.2
Слайд 32Пример 6.
На рисунке 2
изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите промежутки убывания функции y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение. Промежуткам убывания функции соответствуют промежутки, на которых производная данной функции отрицательна. По графику определяем, что наибольший из этих промежутков имеет длину 3,5.
Решение. Промежуткам убывания функции соответствуют промежутки, на которых производная данной функции отрицательна. По графику определяем, что наибольший из этих промежутков имеет длину 3,5.
Рис.2
Слайд 34Пример 7.
На рисунке изображен
график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите количество точек максимума функции y=f(x).
Решение. Точек максимума здесь две, так как график производной 4 раза меняет знак на интервале (-5;9), из них два раза с плюса на минус. Это и есть точки максимума.
Решение. Точек максимума здесь две, так как график производной 4 раза меняет знак на интервале (-5;9), из них два раза с плюса на минус. Это и есть точки максимума.
Рис.2
Слайд 36Пример 8.
На рисунке
изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите точки минимума функции y=f(x).
Решение. На графике производной видно, что на интервале (-5;9)производная 4 раза меняет знак в точках х=-4; х=-0,5; х=3; х=7. Причем в точках х=-4; х=3 он меняется с минуса на плюс. Значит, эти точки являются точками минимума, так как в точках х=-4 и х=3 характер монотонности функции f(x) меняется с убывания на возрастание.
Решение. На графике производной видно, что на интервале (-5;9)производная 4 раза меняет знак в точках х=-4; х=-0,5; х=3; х=7. Причем в точках х=-4; х=3 он меняется с минуса на плюс. Значит, эти точки являются точками минимума, так как в точках х=-4 и х=3 характер монотонности функции f(x) меняется с убывания на возрастание.
Рис.2
Слайд 38Пример 9.
На рисунке
изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите количество точек экстремума функции y=f(x).
Решение. На промежутке (-5;9) точек экстремума функции y=f(x) ровно четыре: -4; -0,5; 3; 7.
Решение. На промежутке (-5;9) точек экстремума функции y=f(x) ровно четыре: -4; -0,5; 3; 7.
Рис.2
Слайд 40Пример 10
На рисунке 13 изображен график производной функции y=f(x), определенной на
интервале (-5;4). Укажите абсциссы точек, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший и наибольший угловой коэффициент.
Рис.13
Слайд 41Решение.
Угловой коэффициент касательной
. По графику определяем, что наименьшее значение функция достигает при . А наибольшее значение функция достигает при .
Рис.14
-2
Слайд 42Пример 11.
На рисунке
изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-5;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой у=-4х+3 или совпадает с ней.
Касательная к графику функции y=f(x) в некоторой точке параллельна прямой у=-4х+3, если значение производной функции в этой точке равно угловому коэффициенту прямой, то есть . По графику (рис. 15) видно, что принимает значение -4 в одной точке.
Касательная к графику функции y=f(x) в некоторой точке параллельна прямой у=-4х+3, если значение производной функции в этой точке равно угловому коэффициенту прямой, то есть . По графику (рис. 15) видно, что принимает значение -4 в одной точке.
Рис.2
Слайд 44Пример 12.
К графику функции y=f(x) проведена касательная в точке с
абсциссой . На рисунке 16 изображен график производной этой функции. Определите градусную меру угла наклона касательной.
Рис. 16
Решение. Пусть
– угол наклона данной касательной к оси абсцисс. Так как
, то
.
Отсюда получаем
.
Ответ:
.
Слайд 45Пример 14.
На
изображен график функции y=f(x), определенной на промежутке (-5;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-7.
Решение. Так как касательные параллельны прямой у=-7, то они параллельны оси ОХ, следовательно, производные функции f(x) в точках касания должны ровняться нулю. Это стационарные точки. На рисунке все они являются точками экстремума (максимумами или минимумами). Их три.
Решение. Так как касательные параллельны прямой у=-7, то они параллельны оси ОХ, следовательно, производные функции f(x) в точках касания должны ровняться нулю. Это стационарные точки. На рисунке все они являются точками экстремума (максимумами или минимумами). Их три.
Рис.5
Слайд 47Историческая справка
В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия
теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.
Слайд 48Русский термин «производная функции» впервые употребил В. Г. Болтянский,
Что такое
дифференцирование? В. И. Висковатов .
В. Г. Болтянский,
Слайд 49Общее понятие производной было сделано независимо друг от друга почти одновременно
английским физиком и математиком И.Ньютоном и немецким философом и математиком Г. Лейбницом.
И.Ньютон
Г. Лейбниц
Слайд 50Конец XVI – середина XVII веков ознаменовались огромным интересом ученых к
объяснению движения и нахождению законов, которым оно подчиняется. Как никогда остро встали вопросы об определении и вычислении скорости движения и его ускорения. Решение этих вопросов привело к установлению связи между задачей о вычислении скорости движения тела и задачей проведения касательной к кривой, описывающей зависимость пройденного расстояния от времени. английским физиком и математиком И.Ньютоном. немецким философом и математиком Г.Лейбницем.
