Презентация, доклад на тему Применение производной к исследованию и построению графиков функций

математики, 1 курс

Шустрова Оксана Сергевна

x=1/cos² x
(ex)’=ex
Вариант 2.
C’=0
(uv)’=(u’v+v’u)
(sin x)’=cos x
ctg x=-1/sin² x
(xn)’=n*xn-1

промежутков монотонности функции (промежутков возрастания и убывания). Такой анализ легко сделать с помощью производной.

интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

на интервалах

этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Теорема 1.

в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Теорема 2.

которых f’(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).
Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности.
Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f’(x)‹0, то на таком интервале функция f(x) убывает.

Правило нахождения интервалов монотонности

x²-x-6=0
Д=1-4*(-6)*1=1+24=25


Делим область определения на интервалы:


Функция возрастает при xϵ(-∞;-2]υ[3;+∞), функция убывает при xϵ[-2;3].

Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5

x²-2x=0
x(x-2)=0
x1=0 и x2=2
Делим область определения на интервалы:


Функция возрастает при xϵ(-∞;0]υ[2;+∞), функция убывает при xϵ[0;2].

Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²

существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x0).
Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x0).

точке производная функции или равна нулю, или не существует.

Теорема 3.

точка x0 является точкой экстремума функции f(x).
Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума

Теорема 4.

-x²-x+2=0
Д=1-4*(-1)*2=1+8=9
x1=1; x2=-2
Делим область определения на интервалы:



x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: ymax=3.

Пример №3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x-4

определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2+2)’=2x.
Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:




x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=2.

D(y)=R.
Находим производную: y’=(1/3x3-2x2+3x+1)’=x2-4x+3.
Приравниваем её к нулю: x2-4x+3=0, откуда x1=1, x2=3 – критические точки.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:




x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции ymax=7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=1.

D(y)=R.
Находим производную: y’=(x3+3x2+9x-6)’=3x2+6x+9.
Приравниваем её к нулю: 3x2+6x+9=0, откуда D<0. То есть критических точек не существует.
Однако, функция возрастает на всей D(y), так как y’=3x2+6x+9 >0:

D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2-x-6)’=2x-1.
Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале:




x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=-6,25.

576 – стр. 253;
Выучить достаточные и необходимые условия монотонности и существования экстремумов функции.

Задание на дом: