Презентация, доклад Введение понятия комплексные числа

математического анализа. 10 класс. М.И. Шабунин

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. А.Г. Мордкович

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. М.Я. Пратусевич

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. С.М. Никольский

1

2

3

4

5

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Н.Я. Виленкин

уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Для разрешимости уравнения вида х + а = b положительных чисел недостаточно

Х + 5 = 2

Для разрешимости уравнения вида ах = b целых чисел недостаточно

2х = 3

отрицательный корень

корень дробное число

уравнения первой степени вида ах + b = 0 (а≠0). Для разрешимости уравнений степени выше первой рациональных чисел недостаточно.

х 2 = 2, х3 = 5

иррациональный корень

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Но и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение.

х 2 + 1 = 0

i – комплексное число (корень уравнения)

Определение:
Комплексными числами называют выражения вида а + bi, где а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что i2 = - 1. (Ю.М. Колягин)
Комплексными числами называют упорядоченные пары (a, b) действительных чисел а и b, для которых следующим образом определены понятие равенства и опреации сложения и умножения. (М. И. Шабунин)

которых имеет свои преимущества и недостатки. У более сложной системы больше различных возможностей по ее использованию и применению, но при этом и само построение такой системы, и знание многочисленных деталей, очевидно требует больших усилий и большего времени.

z = a + bi число а называют действительной частью комплексного числа z, а числоb – мнимой частью комплексного числа z. (А.Г. Мордкович)

предлагается рассмотреть решение уравнения х3 – 13х – 12 = 0, где вместо х подставляют z + a/z, а а положи равно 13/3. В результате получаем уравнение z6 + 12z3 + (13/3)3 = 0 с отрицательным дискриминантом D/4 = - 1225/27. Как же найти корни? «Самое простое», - говорит автор- «обозначить корень из – 1 некоторой буквой, например i…». В итоге получаем z3 = 6 ±(35/3√3)i.

Определение:
Множеством комплексных чисел называется множество упорядоченных пар вещественных чисел (а; b) с введенными на нем двумя операциями сложения ( знак операции обозначается +) и умножения (знак операции обозначается · или ×), определенными следующим образом:

обосновывается потребностью, например, найти число квадрат которого равен (-1) или решить уравнение с отрицательным дискриминантом.

Введение нового материала можно построить на базе материала предложенного Ю.М. Колягиным и М.И. Шабуниным.

действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел – измерение любой величины… Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных – из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя.»

ax2 + bx + c = 0

D > 0

D = 0

D < 0

2 корня

1 корень

?

математиков к необходимости расшить множество действительных чисел, присоединив к нему новое число i, такое, что i2 = - 1.»

Определение:
Комплексным числом z называют пару (а;b) действительных чисел а и b, взятых в определенном порядке. Две пары (а;b) и (с;d) задают одно и то же комплексное число в том и только том случае, когда они совпадают, т.е. когда а = с и b = d.