МАКАРОВА Л.И.
- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад Тригонометрические подстановки при решении уравнений.
Содержание
- 1. Презентация Тригонометрические подстановки при решении уравнений.
- 2. Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда
- 3. Если из условия задачи следует, что допустимые
- 4. Непрерывная функция y=cos x убывает на промежутке
- 5. В случаях, когда переменная может принимать любые
- 6. Когда выражение зависит от двух переменных x
- 7. А числа, сумма квадратов которых равна единице,
- 8. ТЕПЕРЬ РЕШИМ НЕСКОЛЬКО УРАВНЕНИЙ.
- 9. ПРИМЕР 1. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕКонечно, данный пример можно
- 10. Легче сделать так: Пусть x=cos α, α∈[0;π],
- 11. Решение задачПример 1
- 12. ПРИМЕР 2. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕПерепишем пример в таком виде:Решение задачПример 2Пример 1
- 13. Решение задачПример 2С учетом замены уравнение принимает такой вид:
- 14. Решение задачПример 2Используем формулу разности синусов:
- 15. Решение задачПример 2Учитывая, что α∈[0;π], получаем
- 16. ПРИМЕР 3. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕПоделим все члены уравнения на 2. Уравнение примет видРешение задачПример 3Пример 2
- 17. Докажем, что все корни данного уравнения по
- 18. Положим x=cos α, α∈[0;π]. Уравнение примет видРешение задачПример 3
- 19. Условию α∈[0;π] удовлетворяют три значенияРешение задачПример 3
- 20. Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше
- 21. ПРИМЕР 4. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕПусть x=t+1, тогда уравнение перепишется в видеРешение задачПример 4Введем заменуПример 3
- 22. Это уравнение мы уже решали. Его
- 23. Перейдем к переменной t, а затем к переменной xРешение задачПример 4
- 24. ПРИМЕР 5. ПРИ КАКИХ А НЕРАВЕНСТВО
- 25. Положим x=r cos α, y=r sin α, α∈[0;π], тогдаРешение задачПример 5
- 26. Оценим выражениеРешение задачПример 5Наименьшее значение выражения равно −4,5. Значит, при a>−4,5 неравенство имеет решение.Ответ: a>−4,5
- 27. Спасибо за внимание!
Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем
Слайд 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ. ПОДГОТОВИЛА УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ МКОУ « КОРЕНЕВСКАЯ СОШ №2»
Слайд 2Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения
совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область.
Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.
Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.
Слайд 3Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной определяются неравенством
|x|≤1, то удобны замены x=cos α или x=sin α.
В первом случае достаточно рассмотреть α∈[-π/2;π/2], так как на этом промежутке непрерывная функция y=sin x возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке.
В первом случае достаточно рассмотреть α∈[-π/2;π/2], так как на этом промежутке непрерывная функция y=sin x возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке.
Слайд 4Непрерывная функция y=cos x убывает на промежутке [0;π], поэтому также каждое
свое значение принимает ровно в одной точке. Вот почему в случае замены x=cos α, достаточно взять α∈[0;π].
![Непрерывная функция y=cos x убывает на промежутке [0;π], поэтому также каждое свое значение принимает ровно в одной](/img/thumbs/dd9da043913586b750c2a65a2973b5b1-800x.jpg "Презентация Тригонометрические подстановки при решении уравнений. Непрерывная функция y=cos x убывает на промежутке [0;π], поэтому также каждое")
Слайд 5В случаях, когда переменная может принимать любые действительные значения, используются замены
x=tg α, α∈(−π/2;π/2) или x=ctg α, α∈(0;π), так как область значения функции y=tg x и y=ctg x на соответствующих промежутках есть множество всех действительных чисел.
Слайд 6Когда выражение зависит от двух переменных x и y, целесообразно положить
x=r sinα, y=r cos α, где r∈R, r≠0. Такая замена законна. Действительно, для любых x и y существует такое r≥0, что x2+y2=r2. При r≠0 имеем
Слайд 7А числа, сумма квадратов которых равна единице, по модулю не превосходят
единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Геометрический смысл такой замены состоит в следующем: для каждой точки (x;y) определяется расстояние r до начала координат и угол α наклона вектора (x;y) к положительному направлению оси абсцисс.
Слайд 9ПРИМЕР 1. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
Конечно, данный пример можно разрешить, возведя в квадрат,
не забыв про условие. Но тогда получится уравнение шестой степени, которое решается не совсем просто.
Решение задач
Пример 1
Слайд 10Легче сделать так:
Пусть x=cos α, α∈[0;π], тогда
Решение задач
Пример 1
Лишь три корня
удовлетворяют условию 0 ≤ α ≤ π:
![Легче сделать так: Пусть x=cos α, α∈[0;π], тогдаРешение задачПример 1Лишь три корня удовлетворяют условию 0 ≤ α](/img/tmb/5/448196/b4ba3e7ec73be42b56b45e166105ffa6-800x.jpg "Презентация Тригонометрические подстановки при решении уравнений. Легче сделать так: Пусть x=cos α, α∈[0;π], тогдаРешение задачПример 1Лишь три")
![Решение задачПример 2Учитывая, что α∈[0;π], получаем](/img/thumbs/77566ac7d9a2f7f8edd1e05293e4947c-800x.jpg "Презентация Тригонометрические подстановки при решении уравнений. Решение задачПример 2Учитывая, что α∈[0;π], получаем")
Слайд 16ПРИМЕР 3. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
Поделим все члены уравнения на 2. Уравнение примет
вид
Решение задач
Пример 3
Пример 2
Слайд 17Докажем, что все корни данного уравнения по модулю не превосходят единицы.
Пусть |x|>1, тогда |4x2−3|>1, |x(4x2− 3)|>1. Получили, что при |x|>1 левая часть уравнения по модулю больше единицы, а правая – меньше единицы, что невозможно.
Решение задач
Пример 3
![Положим x=cos α, α∈[0;π]. Уравнение примет видРешение задачПример 3](/img/thumbs/a1c778d01209de09ee18b8882484981e-800x.jpg "Презентация Тригонометрические подстановки при решении уравнений. Положим x=cos α, α∈[0;π]. Уравнение примет видРешение задачПример 3")
![Условию α∈[0;π] удовлетворяют три значенияРешение задачПример 3](/img/thumbs/366437edc13267972a72de18978afef3-800x.jpg "Презентация Тригонометрические подстановки при решении уравнений. Условию α∈[0;π] удовлетворяют три значенияРешение задачПример 3")
Слайд 20Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше трех различных корней, то
мы нашли все решения.
Решение задач
Пример 3
Слайд 21ПРИМЕР 4. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
Пусть x=t+1, тогда уравнение перепишется в виде
Решение задач
Пример
4
Введем замену
Пример 3
Слайд 22Это уравнение мы уже решали.
Его корни
Решение задач
Пример 4
Два последних значения
меньше нуля, поэтому нам подходит только
Слайд 24ПРИМЕР 5. ПРИ КАКИХ А НЕРАВЕНСТВО
ИМЕЕТ РЕШЕНИЕ.
x=y=0 не является решением
неравенства, поэтому поделим обе части неравенства на x2+y2.
Решение задач
Пример 5
Неравенство имеет решение при а большем наименьшего значения выражения
Пример 4
![Положим x=r cos α, y=r sin α, α∈[0;π], тогдаРешение задачПример 5](/img/thumbs/c88684dc752ec55f6b8b113b65e0c08b-800x.jpg "Презентация Тригонометрические подстановки при решении уравнений. Положим x=r cos α, y=r sin α, α∈[0;π], тогдаРешение задачПример 5")
Слайд 26Оценим выражение
Решение задач
Пример 5
Наименьшее значение выражения равно −4,5. Значит, при a>−4,5
неравенство имеет решение.
Ответ: a>−4,5
