Презентация, доклад Теория вероятностей на ЕГЭ - 2017

заданий №4 (профильный уровень)

Грибовская Валентина Алексеевна,
учитель математики
МОБУ «СОШ №90»
р.п. Чунский Иркутской области

МАТЕМАТИКЕ (фрагмент)

5. Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
 
5.4 Моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий

экзамена (фрагмент)

6. Элементы комбинаторики, статистики и теории
вероятностей
Элементы комбинаторики
6.1.1 Поочередный и одновременный выбор
6.1.2 Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
Элементы статистики
6.2.1 Табличное и графическое представление данных
6.2.2 Числовые характеристики рядов данных
Элементы теории вероятностей
6.3.1 Вероятности событий
6.3.2 Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

благоприятствующих исходов к общему числу равновозможных исходов
где  Р— вероятность события, 0≤ Р(А)≤1 ,  m— число благоприятствующих событию исходов, n — общее число равновозможных исходов.
Теорема: Вероятность суммы несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
Теорема: Вероятность суммы любых случайных событий А и В вычисляется по формуле Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∙ В) .
Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:

моделей: моделирование реальных ситуаций на языке теории вероятностей и статистики; вычисление в простейших случаях вероятности событий.
Характеристика задания. Несложная задача по теории вероятностей или статистике.
Комментарий. Для решения задачи достаточно уметь находить отношение числа благоприятных для наступления некоторого события исходов к числу всех равновозможных исходов.

Тип по КТ. Задание на построение и исследование простейших математических моделей: моделирование реальных ситуаций с использованием статистических и вероятностных методов, решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием известных формул; вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов.
Характеристика. Несложная задача по теории вероятностей или статистике.
Комментарий. Для решения задачи достаточно уметь находить отношение числа благоприятных для наступления некоторого события исходов к числу всех равновозможных исходов.

БАЗОВЫЙ
УРОВЕНЬ

ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

№4

Задача:
При изготовлении подшипников диаметром 69 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не более чем на 0,01 мм, равна 0,975. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 68,99 мм, или больше, чем 69,01мм.

Решение:
В данной задаче нужно найти вероятность превышения диаметра подшипника на 0,01 мм. Так как известна вероятность не превышения этого значения, то обратная вероятность будет равна
1-0,975=0,025.
Ответ: 0,025

диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение:
По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035.
 
Ответ: 0,035

Задача
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,95. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,6. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 17.

Решение: Выделим два события: 
 - в автобусе меньше 12 пассажиров; 
 - в автобусе от 12 до 17 пассажиров.
Сумма вероятностей этих несовместных событий есть не что иное, как вероятность того, что в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, с известной вероятностью 0,95 (дана по условию задачи), т.е. можно записать равенство: 0,95 = Р(А) + Р(В). Вероятность события А дана в задаче и равна 0,6, следовательно, вероятность события В равна Р(В) = 0,95 - Р(А) = 0,95 – 0,6 = 0,35
Ответ: 0,35

ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,93. Вероятность того, что окажется меньше 9 пассажиров, равна 0,54. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 9 до 17.

Решение: 
Будем использовать теорему о сумме двух несовместных событий.
Тогда искомая вероятность будет равна 
P = 0,93 − 0,54 = 0,39.

Ответ: 0,39

По  отзывам  покупателей Иван  Иванович оценил надёжность  двух интернет‐ магазинов. Вероятность  того, что  нужный товар доставят  из магазинаА, равна 0,8. Вероятность того, что этот  товар доставят из магазина Б,  равна  0,7. Иван Иванович заказал товар  сразу в  обоих магазинах.
Считая, что  интернет‐магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
 

Решение: 
По теореме об умножении вероятностей имеем 
P = (1 − 0,7)∙(1 − 0,8) = 0,06.


Ответ: 0,06

интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение:
(1-0,8)∙(1-0,9) =
= 0,2∙0,1 = 0,02.


Ответ: 0,02

футбольного матча капитаны команд подбрасывают монету. Какова вероятность того, что команда «Статор» будет начинать все три матча?

Решение: 
Вероятность начинать матч равна 0,5.
Тогда вероятность начинать все три матча равна 
P = 0,5∙0,5∙0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125

монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение (I способ):
Можно перечислить все возможные случаи бросания монетки:
ООО, ООР, ОРО, ОРР,
РОО, РОР, РРО, РРР
и найти, в скольких из них орел выпал ровно два раза: ООР, ОРО, РОО. Тем самым, вероятность выпадения орла дважды равна 3 : 8 = 0,375.
(Этот подход затруднителен в случае большого числа бросаний монетки).

монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: (II способ)
По формуле - следствию формулы Бернулли


где n = 3 - число бросаний монеты, m = 2 – число выпавших орлов, получим


Следовательно, искомая вероятность равна 3/8=0,375.
Ответ: 0,375

симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: (I способ)
Число благоприятных исходов m = 10:
ООРРР ОРОРР ОРРОР ОРРРО РООРР РОРОР РОРРО РРООР РРОРО РРРОО
из n = 32 равновозможных исходов.
Вероятность равна m/n =
= 10/32 = 0,3125
Ответ: 0,3125

симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: (II способ)
Число равновозможных исходов n = 25 = 32. Число благоприятных исходов



Вероятность равна
10/32 = 0,3125
Ответ: 0,3125

число выпавших «гербов» будет больше числа выпавших «решек»? Ответ округлите до сотых.

Решение:
«Гербов» будет больше числа выпавших «решек» в следующих случаях:
ОООООО, ОООООР, ООООРР






Ответ: 0,34

того, что число выпавших «гербов» будет вдвое больше числа выпавших «решек»? Ответ округлите до тысячных.

Решение:
«Гербов» будет вдвое больше числа выпавших «решек» в случае выпадения четырех «гербов» и двух «решек»: ООООРР, тогда





Ответ: 0,234

И. В. Ященко Вариант 8 задание 10

Задача: 
На борту самолета 25 мест рядом с запасными выходами и 15 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Б. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Б. достанется удобное, если всего в самолете 500 мест.

Решение: 
Искомая вероятность находится согласно классическому определению вероятности, то есть, 



Ответ: 0,08

двух домашних хозяйствах.
60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 40% яиц высшей категории.
Всего высшую категорию получает 55% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:
Пусть х — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1- х — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:
0,6х + (1-х)∙0,4 = 0,55
0,2х = 0,15; х = 0,75

Ответ: 0,75

двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 70% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 65% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:
Пусть х — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1- х — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:
0,6х + (1-х)∙0,7 = 0,65
- 0,1х = - 0,05; х = 0,5

Ответ: 0,5

кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков делится на 2, но не делится на 12.
Ответ округлите до сотых.

Решение:







Равновозможных исходов 6∙6=36, благоприятных 27- 7 = 20, искомая вероятность равна 20/36 = 0,555…≈ 0,56.
Ответ: 0,56

игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:
Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5:
2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6∙6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна
5/36 = 0,138…≈ 0,14.
 Ответ: 0,14

бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков.
Результат округлите до сотых.

Решение:
Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 6 очков, равно 10:
1 + 1 + 4, 1 + 4 + 1, 4 + 1 + 1,
1 + 2 + 3, 1 + 3 + 2, 3 + 1 + 2,
3 + 2 + 1, 2 + 1 + 3, 2 + 3 + 1,
2 + 2 + 2.
Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6 · 6 · 6 = 216. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков, равна
 

Ответ: 0,05

сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Решение:
В среднем без дефектов выпускают 92 сумки из каждых 100, поэтому искомая вероятность равна 92/100 = 0,92.

 Ответ: 0, 92

сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение:
По условию из любых
100 + 8 = 108 сумок
в среднем 100 качественных сумок.
Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна
 


Ответ: 0,93

И. В. Ященко Вариант 25 задание 10

Задача:
В большой партии насосов в среднем на каждые 144 исправных приходится 6 неисправных насосов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется исправным.

Решение:
По условию из любых
144 + 6 = 150 насосов
в среднем 144 исправных насосов.
Значит, вероятность того, что, случайно выбранный насос окажется исправным
равна 144/150 = 0,96.
Ответ: 0,96

стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.
 

Решение:
Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 4 человека, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом, равна 


Ответ: 0,5

9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом.

Решение:
Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность того, что девочки будут сидеть рядом равна 2:8=0,25.
А вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом, равна 1- 0,25 = 0,75.
Ответ: 0,75

равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение:
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.
 
Ответ: 0,8836

Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение:
Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий:
A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована.
Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем: 
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) =
0,02∙0,99 + 0,98∙0,01=
0, 0198 + 0,098 = 0,0296.

 Ответ: 0,0296

артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена.
Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96?

Решение: Вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:
Р(1) = 1 – 0,3 = 0,7
Р(2) = Р(1)∙(1-0,9) = 0,07
Р(3) = Р(2)∙(1-0,9)=0,007
1 – 0,96 = 0,04
0,007 < 0,04, значит достаточно трех выстрелов.
Ответ: 3

команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.

Решeние:
По результатам первой жеребьёвки команда «Барселона» находится в одной из 8 групп. Вероятность того, что команда «Зенит» окажется в той же игровой группе равна одной восьмой.
Ответ: 0,125

по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием.
Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии?
Результат округлите до сотых.

Решeние:
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих
(Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):
...Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш..., ...Ш...Н...Д..., ...Ш...Д...Н..., ...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...
Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна
Ответ: 0,33

для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решeние:
Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
 Ответ: 0,019

автомата продают кофе.
Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3.
Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

  Решeние: (I способ)
Рассмотрим события
А - кофе закончится в первом автомате,
В - кофе закончится во втором. Тогда
A· B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном .
 По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.
События A и B совместные, вероятность суммы равна
  P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A· B) = 
= 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
  Значит, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. 
Ответ: 0,52

продают кофе.
Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение: (II способ)
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате, равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате, равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A· B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52.
Ответ: 0,52

на «пять»! Все будет хорошо, учились вы не зря, «Ни пуха ни пера», короче говоря!

Успешной сдачи ЕГЭ!

вариантов / под ред. И. В. Ященко. — М. : Издательство «Национальное образование», 2017. — 256 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
ЕГЭ-2017. Математика. Профильный уровень. 50 тренировочных вариантов / под ред. И. В. Ященко. — М., 2017
ЕГЭ-2017: Математика: 30 тренировочных вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ: базовый уровень / под ред. И. В. Ященко. — М. : АСТ, 2016.
ege.sdamgia.ru
alexlarin.net: 
Сайт «Решу ЕГЭ»
markov_irk.@mail.ru