Презентация, доклад Теория вероятностей и комбинаторные методы решения вероятностных задач.

«Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи».
Джон Сильвестр.

явлений и процессов, наблюдаемых в статистических экспериментах.
Теория вероятности исследует математические модели. Наиболее распространенными являются случайные события, случайные величины, процессы.
Курс математики познакомит вас со случайными событиями.
А. Н. Колмогоров – создатель «математической вероятности», как объективной меры возможности появления случайных событий.

Какое событие называется достоверным; невозможным?
 – Какие события называются равновозможными?
 – Какие события являются несовместными, совместными?
  – Дать классическое определение вероятности и привести примеры.
— Комбинаторные правила умножения и сложения.
— Примеры решения задач.

(или опыт)
Заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов (явлений).
Эксперимент называют статистическим, если он может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное число раз.
Случайные события- события, которые происходят в определенных условиях, но не при каждом проведении опыта.
Одни происходят реже, другие чаще. Опыты, в которых эти события могут появляться, можно повторять многократно в практически неизменных условиях.

событие имеет свое значение, величину этой вероятности.

Если опыт, в котором появляется событие А, имеет конечное число равновозможных исходов, то вероятность события А равна
Р(А)=m/n
m- количество исходов, при которых событие А появляется.

n-условие конечно и все исходы равновозможные.

монета, одна и та же поверхность, отсутствие внешних воздействий.
Наблюдаемый признак:
Верхняя сторона монеты после ее остановки («орел» или «решка»или 0и 1).
Исходом эксперимента называют значение наблюдаемого признака, полученное по окончании эксперимента.
Событием называют появление исхода, обладающего заранее указанным свойством.

грани кубика, оказавшейся сверху после его остановки; возможно 6 разных исходов.
Определим события:
А – выпало четное число очков (исходы 2, 4, 6).
В -- выпало число очков, кратное 3 (исходы 3, 6).
С – выпало более 4 очков (исходы 5, 6).
Если выпадет 1 очко, ни одно из событий не произойдет, но появится один исход.
Если выпадет 2 очка, то произойдет событие А.
Если 6 очков – произойдут все 3 события А, В, С.
Эксперимент может закончиться появлением сразу нескольких событий, но он никогда не может закончиться появлением сразу нескольких исходов.

означает событие А? Выразить значение Р(А) в процентах.

Решение
Событие А можно описать так: «на игральной кости выпало не менее 5 очков». Оно означает, что при бросании игральной кости выпало или 5, или 6 очков.
Вероятность события А можно найти как отношение числа благоприятных ему исходов (5,6) к общему числу исходов.

Р(А)=m/n=2/6=1/3=33,3%
Ответ: А={5;6}, Р(А)=33,3%.

вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?
Решение
Если продажа билетов будет организована так, что покупка любого из 1500 билетов будет равновозможная, то можно применить формулу классической вероятности.
Пусть событие А- «купленный билет оказался выигрышным». Тогда количество благоприятствующих исходов m=120, а общее число равновозможных исходов n=1500; вероятность
Р(А)=m/n=120/1500=4/50=0,08 или 8%
Ответ: 0,08.

обязательно происходит при каждом проведении эксперимента.
Например, при бросании игрального кубика событие Д – «при бросании кубика выпало не более 6 очков»-
-является достоверным, так как каждый исход опыта (1, 2, 3, 4, 5, 6) обладает указанным свойством (выпавшее число очков не больше 6).
Невозможное событие-это событие, которое никогда не может произойти при проведении опыта.
Например, при бросании монеты событие А- «при бросании монеты выпали орел и решка»-является возможным, так как нет исходов, при которых появляются орел и решка одновременно.
Два события А и В называют совместными, если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента (то есть в соответствующих им множествах экспериментов нет одинаковых исходов (общих).

3 белых, 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или случайное:
А) из мешка вынули 4 шара, и все они синие;
В) из мешка вынули 4 шара, и все они красные;
С) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;
Г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.

4 синих вынуть нельзя.
В) Событие случайное, может произойти, может и не произойти.
С) Событие невозможное, так как в мешке лежат шары только трех разных цветов.
Г) Событие достоверное, так как в мешке нет шаров черного цвета.
Ответ: а) невозможное; В) случайное; С) невозможное; Г) достоверное.

все возможные и все благоприятные исходы. Но во многих задачах исходов оказывается слишком много, тогда на помощь приходит комбинаторика – наука о переборе и подсчете комбинаций.
Примеры случайных экспериментов из нескольких действий, производимых одновременно или друг за другом.
Например: одновременно бросают две монеты; два раза бросают одну и ту же монету и т. д…
Правило умножения: если первое действие в эксперименте можно выполнить а способами, после чего второе действие –в способами, после чего третье – с способами и т.д. то общее число исходов всего эксперимента будет
n=a*b*c*…
А) одновременно бросают две монеты: n=2*2=4
В) друг за другом из колоды вынимают две карты, возвращая карту обратно: n=36*36=1296

непересекающиеся классы, содержащие а, в, с… возможных исходов, то общее число исходов всего эксперимента будет
n=a+b+c+… .
Число комбинаций называется числом сочетаний из N по k и обозначается («цэ из эн по ка»).

Пример:
Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр: 1) 1 и 2; 2) 0 и 1?
Решение
1) Составим трехзначные числа из цифр 1 и 2:
Первую цифру можно выбрать 2 способами, вторую – 2 и третью – тоже 2, всего можно составить: 2*2*2=8 различных трехзначных чисел.
2) Составим трехзначные числа из цифр 0 и 1:
Первую цифру можно выбрать 1 способом (ноль нельзя), вторую – 2 и третью- тоже 2, всего можно составить: 1*2*2=4 различных трехзначных числа.
Ответ: 1) 8; 2) 4.

каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?
Решение
Первый тетраэдр может лечь на стол одной из 4 своих граней; всего 4*4=16 различных пар граней (чисел).
Ответ: 16 пар чисел.

видов овощей) вариантов салатов можно приготовить?
Решение
Если считать, что порядок выбора овощей для салата важен и должен учитываться, то можно приготовить: 6*5*4=120 вариантов салатов.
Если порядок выбора значения не имеет, то это число нужно разделить на количество различных перестановок из трех элементов, равное 1*2*3=3!=6; тогда получим 120/6=20 различных вариантов.
Ответ: 120 или 20.