Слайд 1Задачи по теме «Теория
вероятностей»
(Подготовка к ЕГЭ)
Учитель математики
ГБОУ СОШ №26
г.Сызрань
Гаврилина Ж.Ю.
Слайд 2«…Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле
лишь задачами теории вероятностей»
П. Лаплас
(французский математик, 1749 – 1827)
Слайд 3Из истории…
Ещё первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить
копьём зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.
Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем были ещё очень далеки от теории вероятностей.
Позднее, с опытом, человек всё чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные, достоверные…
Слайд 4Теоретическая часть.
Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти.
В модуле
«Простые задачи» достаточно применить определение вероятности или формулу для вычисления вероятности противоположного события.
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу равновозможных исходов.
События А и В называют противоположными друг другу, если любой исход благоприятен ровно для одного из них.
Слайд 5Простые задачи.
№1.
На стоянке 56 автомобилей, из них в 42-х есть
кондиционер. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на стоянке автомобиле есть кондиционер.
Слайд 6№1. Решение:
Общее число исходов равно 56.
Благоприятных исходов –
42
Искомая вероятность равна
42 : 56 = 0,75
Ответ: 0,75.
Слайд 7Простые задачи.
№2.
В среднем из 1000 садовых шлангов, поступивших в продажу,
16 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля шланг не подтекает.
Слайд 8№2. Решение:
Общее число исходов равно 1000.
Благоприятных исходов («выбранный
для контроля шланг не подтекает») 1000 - 16 = 984
Искомая вероятность равна
984 : 1000 = 0, 984
Ответ: 0,984.
Слайд 9Простые задачи.
№3.
Фабрика выпускает рюкзаки.
В среднем на
100 качественных рюкзаков приходится
восемнадцать рюкзаков со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный рюкзак окажется качественным. Результат округлите до сотых.
Слайд 10№3. Решение:
Формулировка «на 100 качественных рюкзаков приходится 18 рюкзаков со скрытыми
дефектами» указывает на то, что дефектные 18 штук не входят в 100 качественных. Поэтому : общее число исходов 100 + 18 =118 (равно общему числу рюкзаков).
Благоприятных исходов 100.
Искомая вероятность равна
100 : 118 = 0, 8474…
Ответ: 0,85
Слайд 11Задачи о бросании монеты.
№4.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают
трижды. Найдите вероятность того, что первый раз выпадет орёл, во второй и третий – решка.
Слайд 12№4. Решение:
Всего возможно 8 исходов :
РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР,
ОРО, ООР, ООО
Благоприятными событию «ОРР» 1 исход
Вероятность равна 1 : 8 = 0, 125
Ответ: 0,125.
Слайд 13Простые задачи.
№5.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
Слайд 14№5. Решение:
Если бросают n игральных костей (кубиков), то имеются 6 в
степени n равновозможных исходов. Столько же исходов получается, если один и тот же кубик бросают n раз подряд.
Имеется всего = 36 исходов. Событию «в сумме выпадет 7 очков» благоприятными будут 6 исходов: 1 и 6, 6 и 1, 2 и 5, 5 и 2,
3 и 4, 4 и 3.
Вероятность равна 6 : 36 = 0,1666…
Ответ: 0,17
Слайд 15Простые задачи.
№6.
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до
9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет нечётной и меньшей 8?
Слайд 16№6. Решение:
Исходом здесь является нажатие определённых клавиш, поэтому всего
исходов – 10. Благоприятных ( нажатие клавиш 1, 3, 5, 7) исходов 4. Искомая вероятность равна
4 : 10 = 0,4
Ответ: 0,4
Слайд 17Простые задачи.
№7.
На экзамене участников рассаживают по семи аудиториям. В
первых шести по 15 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию на другом этаже. При подсчёте выяснилось, что всего было 100 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал экзаменационную работу в запасной аудитории.
Слайд 18№7. Решение:
Общее число исходов равно 100
Благоприятных исходов
100 -15*6 = 10
Искомая вероятность равна
10 : 100 = 0,1
Ответ.0,1.
Слайд 19Задачи средней трудности.
№8.
Из районного центра в деревню ежедневно ходит
автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 24-х пассажиров, равна 0,57. Вероятность того, что окажется меньше 17-ти пассажиров, равна 0,28. Найдите вероятность того, что пассажиров будет от 17 до 23.
Слайд 20№8. Решение:
Обозначим через А событие «в автобусе меньше 17 пассажиров».
Через
В событие «в автобусе от 17 до 24 пассажиров».
Тогда А U B это событие «в автобусе менее 24 пассажиров»
По условию P(АUB) = 0,57, P(А) = 0,28.
Так как события А и В несовместны, то
P(АUB) = P(А) + P(В),
откуда 0,57 = 0,28 + P(В), P(В) = 0,29.
Ответ. 0,29.
Слайд 21Задачи средней трудности.
№9.
По отзывам покупателей Владислав Юрьевич оценил
надёжность двух интернет- магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,71.
Вероятность того, что товар доставят из магазина В, равна 0,8. Владислав Юрьевич заказал товар сразу в двух магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Слайд 22№9. Решение:
Вероятность того, что из А не доставят товар равна
1 – 0,71 = 0,29.
Вероятность того, что из В не доставят товар равна
1 – 0,8 = 0,92. Так как магазины работают независимо, то вероятность «не доставят» товар оба магазина равна
0,29 * 0,92 = 0,2668
Ответ: 0,2668
Слайд 23Задачи средней трудности.
№10.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной
команде надо набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований, если вероятность выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Слайд 24№10. Решение:
Вероятность ничьей:
1-0,4-0,4=0,2
Команда выиграла оба матча:
0,4
* 0,4 = 0,16
Команда выиграла 1-й, второй вничью (и наоборот): 0,4 * 0,2 = 0,08
Объединяем: 0,16+0,08+0,08=0,32
Ответ. 0,32
Слайд 25Задачи для самостоятельного решения.
Миша, Боря, Вова и Дима бросили жребий –
кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет Миша.
В урне 14 красных, 9 жёлтых и 7 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 4 до 23 делится на три?
Слайд 26Задачи для самостоятельного решения
4. В чемпионате по художественной гимнастике участвуют 20
спортсменок6 6 из России, 5 из Германии, остальные – из Франции. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая седьмой, окажется из Франции.
5. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 50 докладов – в первые 3 дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между 4 и 5 днями. Порядок докладов определяется жребием. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции?
Слайд 27Литература.
Математика. Теория вероятностей. Подготовка к ЕГЭ. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Легион,
Ростов-на-Дону, 2014.
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2016 год. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Легион, Ростов-на-Дону, 2015
Факультативный курс по математике. Теория вероятностей. В.С.Лютикас, Москва, «Просвещение», 1990