Презентация, доклад Производная и первообразная на ЕГЭ

(профильный уровень)

Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; строить графики изученных функций.
3.2. Вычислять производные и первообразные элементарных функций.
3.3. Исследовать в простейших случаях функции
на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций.

монотонности, точки экстремума, экстремумы);
●Уметь определять свойства функции по информации о производной функции (которая будет содержаться в графике производной);
● Знать геометрический и физический смыслы производной;
● Уметь работать с уравнением касательной.

коэффициент касательной
в точке М?

2. Чему равна производная
в точке М ?

-1

-1

0

0

3/4

3/4

количество точек графика функции, в которых касательные наклонены под углом 135о к положительному направлению оси абсцисс.

Ответ: 5

у

х

0

1

1

а

b

у = -1

графику функции провели все касательные, параллельные прямой у = 4 - 2х (или совпадающие с ней). Найдите наибольшую из точек абсцисс, в которых проведены эти касательные.

Ответ: 4

4

у = -2

количество точек графика функции, в которых касательные наклонены под углом 60о к положительному направлению оси абсцисс.

у

х

0

1

1

а

b

Ответ: 2

по законам s1(t) = 1 - 6t + 2,5t 2 и s2(t) = -3+ 2t + 0,5t 2 .
Определить, в какой момент времени скорости их
будут равны.

Ответ: при t = 2 с

РЕШЕНИЕ.

ЗАДАЧА №1

в химическую реакцию, задается зависимостью
р( t ) = 0,5t 2 + 3t –3 (моль).
Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

ЗАДАЧА №2

РЕШЕНИЕ.

1) v( t ) = p`( t ) = t + 3,

2) v(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6(моль/сек)

Ответ: 6 моль / сек

– 5t 2 . Найдите:
1) Скорость тела в начальный момент времени.
2) Наибольшую высоту подъёма тела.

РЕШЕНИЕ.

2) t= 0, v(0) = s`(0) = 8 м/с – скорость
тела в начальный момент времени

1) v (t) = s` (t) = 8 – 10t - скорость тела;

3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64 =7,2 м – максимальная высота броска тела.

Ответ: 8 м/с ; 7,2 м .

ЗАДАЧА №3

угловой коэффициент?

Ответ:6

точку
максимума функции.

2. Найдите количество
точек минимума функции
на интервале (a;b)

х = 0

х = -3; х = 2

Ответ:2

Ответ: 0

приобретённые знания и выполнять действия с функциями и их производными.

Полезно знать: функция, непрерывная на отрезке, достигает свои наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке либо в точке экстремума, либо на границе этого отрезка.

Алгоритм:
1. Найти производную заданной функции.
2. Найти точки на отрезке, где производная равна нулю
или не существует.
3. Вычислить значения функции в этих точках и в граничных
точках.
4. Выбрать наибольшее или наименьшее значения.

точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наименьшее
из полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

концов отрезка.

Найдите наибольшее значение функции


y = 10sinx – x + 7 на отрезке

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

0

точки, которые принадлежат заданному отрезку.

Выбрать наибольшее из
полученных значений.

Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

1) Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e4 > 5.
2) Второе число – отрицательноe.
3) Значит, наибольшее число 1.

1

y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0]

max

Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума.
Можно сэкономить время на вычислениях значений функции в концах отрезка.

y = 5ln(x+5) – 5x

1. Найти f /(x)

2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычислить значения функции в критических точках
и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее.

0

Можно рассуждать иначе

Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

– F(2), где  F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Согласно геометрическому смыслу первообразной  
F(8) – F(2)  есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции  f(x)  и прямыми 
x=2, x=8 , y=0.

Ответ: 15. 

определённой на интервале (-2;4) . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения  f(x)=0  на отрезке [-1;3].

Согласно определению первообразной на  (-2;4) выполняется  F'(x)= f(x)
Значит, решения уравнения  f(x)=0  – есть решения уравнения F'(x)= 0
А производная равна нулю в точках экстремума.

Ответ: 8.

Таких точек на заданном отрезке  [-1;3]  – 8.

корень?

Запишем данное уравнение в виде:

Исследуем функцию a (t) с помощью производной :

Значения функции на концах:

Решение.

.

.

корень?

а = 8

а = 0

График исходной функции располагается в полосе (0;8].

Значит, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при