Презентация, доклад Преобразование графиков элементарных функций

функций

между этими переменными, которая позволяет для каждого значения х однозначно определить значение у.
Графиком функции f называется множество точек плоскости с координатами (х;f(x)), где х пробегает область определения функции f.

Основные определения

значений аргумента, при которых задана функция.
2.Корни, т.е. точки, в которых функция обращается в нуль, или иначе решение уравнения f(x)=0.
3.Промежутки постоянного знака, т.е. промежутки, на которых функция положительна(отрицательна), или иначе решение неравенства f(x)>0 (f(x)<0).
4.Четность(f(x)=f(-x)) и нечетность(f(x)=-f(x)).
5.Точки экстремума, т.е. точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое(максимум) или самое маленькое(минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках.
6.Промежутки монотонности, т.е. промежутки, на которых функция или возрастает, или убывает.
7.Наибольшее и наименьшее значение функции(по сравнению со всеми возможными точками).
8.Область значений функции, т.е. множество чисел, состоящее из всех значений функции.

1.Проекция графика на ось х.

2.Точки пересечения графика с осью х.

3.Участки оси х, соответствующие точкам графика, лежащим выше (ниже) оси х.
4.Симметричность относительно оси у или начала координат.
5.”Вершины” на графике функции.


6.Участки оси х, где график идет вверх или вниз.

7.Ординаты самой высокой и самой низкой точек графика.
8.Проекция графика на ось у.

Y=kx+b - линейная функцияY=kx+b - линейная функция
Y=k/xY=k/x - обратная пропорциональность
Y=ax2+bx+c+bx+c - квадратичная функция
Y=sin xY=sin x - тригонометрическая функция
Y=cos xY=cos x - тригонометрическая функция
Y=tg xY=tg x - тригонометрическая функция
Y=axx - - показательная функция
Y=logaxx - логарифмическая функция

чисел.
2.Область значений – множество R.
3.Функция возрастает на R, если k>0, убывает, если k<0.
4.Графиком функции является прямая линия.
5.Если k=0, графиком функции является прямая,параллельная оси Ох.

Пример:k=3, 3>0, b=5.

числа, кроме 0.
2. Область значений: все действительные числа, кроме 0.
3. Функция возрастает при k<0, убывает при k>0.
4. Функция нечетная, т.к. f(-x)=-f(x).
5. Графиком функции является гипербола.

Пример:k=3, k>0.

чисел.

2.Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх при а>0, вниз при a<0.

Пример:a=2, b=3, c=-5.

2

2

всех действительных чисел.
2.Множество значений – отрезок [-1;1].
3.Функция y=cos x периодическая с периодом 2П.
4.Функция y=cos x четная.
5.Функция y=cos x принимает:
значение, равное 0, при х = П/2+Пn, n-целое.
наибольшее значение, равное 1, при х = 2Пn, n-целое.
наименьшее значение, равное -1, при х = П+2Пn, n-целое.
положительные значения на интервале(-П/2,П/2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2Пn,n-целое.
отрицательные значения на интервале(П/2;3П/2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2Пn,n-целое.
6.Функция y=cos x:
возрастает на отрезке [П;2П] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2Пn, n-целое.
убывает на отрезке [0;П] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2Пn, n-целое.

всех действительных чисел.
2.Множество значений – отрезок [-1;1].
3.Функция y=sin x периодическая с периодом 2П.
4.Функция y=sin x нечетная.
5.Функция y=sin x принимает:
значение, равное 0, при х = Пn, n-целое.
наибольшее значение, равное 1, при х =П/2+2Пn, n-целое.
наименьшее значение, равное -1, при х = -П/2+2Пn, n-целое.
положительные значения на интервале(0;П) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2Пn,n-целое.
отрицательные значения на интервале(П;2П) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2Пn,n-целое.
6.Функция y=sin x:
возрастает на отрезке [-П/2;П/2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2Пn, n-целое.
убывает на отрезке [П/2;3П/2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2Пn, n-целое.

действительных чисел, кроме х = П/2+Пn,n-целое.
2.Множество значений – множество R всех действительных чисел.
3.Функция y=tg x периодическая с периодом П.
4.Функция y=tg x нечетная.
5.Функция y=tg x принимает:
значение, равное 0, при х = Пn, n-целое.
положительные значения на интервалах(Пn;П/2+Пn), n-целое.
отрицательные значения на интервалах(-П/2+Пn;Пn), n-целое.
6.Функция y=tg x возрастает на интервалах(-П/2+Пn;П/2+Пn),n-целое.

действительных чисел.
2.Множество значений – множество всех положительных чисел.
3.Показательная функция y=ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a>1, и убывающей, если 0

Пример:a=3.

x

чисел.
2.Множество значений – множество R всех действительных чисел.
3.Логарифмическая функция y=logax является возрастающей на промежутке x>0, если a>1, и убывающей, если 04.Если a>1, то функция у=logax принимает положительные значения при x>1, отрицательные при 01.

Пример:a=2.8

=у =f(x-a)
у =у =f(x) + b
y = f(x-a) + b
Y=f(|x|)
Y=|f(x)|

функции f(x) и сдвинуть его вдоль оси Ох на а единиц вправо (если а>0) или влево (если а<0).
Примеры:
у =у =1/x, y=1/(x-3), y=1/(x+2)
y=sin(x), y=sin(x-1), y=sin(x+0.5)
y=2x,y=2(x+2),y=2(x-3)

+b надо изобразить график функции y= f(х) и сдвинуть его на b единиц вверх (если b>0) вдоль оси Оy или вниз (если b<0).
Примеры:
1) 1) у =1) у =1/x, y=(1/x)-3, y=(1/x)+2
2) y=sin(x), y=sin(x)-3, y=sin(x)+2
3) Y=2x,y=2x+1,y=2x-3

надо изобразить график исходной функции y=f (x) и сдвинуть его вдоль оси Оx на a единиц в право(если a>0) или в лево (если a<0), и вдоль оси Оy на b единиц вверх (еслиb>0) или вниз (если b<0).

НАПРИМЕР:
1) y=1/x; y=(1/(x-3))+2; y=(1/(x+1))-31) y=1/x; y=(1/(x-3))+2; y=(1/(x+1))-3)
2) y=sinx,y=sin(x-2)+3, y=sin(x-3)+2
33)3) y=2x,y=2(x-3)+2,y=2(x+2)-2

функции y=f(x) и растянуть или сжать его вдоль оси Ox .Если k >1 производится сжатие в k раз, при 0
НАПРИМЕР:
1) 1) y=1/x; y=1/3x; y=1) y=1/x; y=1/3x; y=-1) y=1/x; y=1/3x; y=-(1/x)
2) y=sin2) y=sin 2) y=sin x2) y=sin x; 2) y=sin x; y=sin(2x)x); x); y=sin(0,4x)
3)3) y=2x,y=20,4x,y=23x

График функции y=f(kx)

(x) нужно растянуть (если k >0) или сжать(если 0< k <1) вдоль оси Оy в k раз. Если k при этом отрицательное, то необходимо отобразить график относительно оси Оx

НАПРИМЕР:
1)1) 1) y=1/x; y=2/x; y=-1) y=1/x; y=2/x; y=-31) y=1/x; y=2/x; y=-3/x1) y=1/x; y=2/x; y=-3/x
2)y=sin x; y=2sin x; y=0.6sin x
3)y=2x,y=2*2x,y=-3*2x

График функции y=kf(x)

функции y=f(x) для всех х из ее области определения.
Оставить без изменения ту часть графика, которая лежит выше оси Ох(т.к. если f(x)>=0, то |f(x)|=f(x)).
Часть графика, лежащую ниже оси Ох, отразить симметрично относительно оси абсцисс(т.к. при f(x)<0 |f(x)|=-f(x)).
Примеры:
1)y=sinx,y=|sinx|
2)y=1/x,y=|1/x|
3)y=2x,y=|2x|

функции y=f(x).
Оставить без изменения ту часть графика, которая лежит правее оси Oy.
Часть графика функции y=f(x), лежащую левее оси Oy, удалить, вместо нее построить часть графика, симметричную относительно оси Oy, оставленной неизменной части графика функции f.
Примеры:
1)y=sinx,y=sin|x|
2)y=1/x,y=1/|x|
3)y=2x,y=2|x|

придерживаться следующих правил:
1.При выполнении преобразований вида y=f(ax+b) необходимо вынести множитель a в выражении ax+b за скобку, т.е. представить функцию в виде y=f(a(x+b/a)).Таким образом, параллельный перенос вдоль оси абсцисс будет проводиться не на |b| единиц, а на |b/a| единиц в нужном направлении.
2.Преобразования сжатия(растяжения) выполняются всегда до преобразований сдвига(параллельного переноса), т.е. обладают приоритетом.
3.При выполнении преобразований вида y=f(k|x|+b) удобно придерживаться следующего порядка действий:
f(x) f(kx) (преобразование сжатия)
f(kx) f(k(x+b/k)) (преобразование сдвига)
Y=f(k(x+b/k)) y=f(k(|x|+b/k)) (преобразование «модуль аргумента»).
4.При выполнении преобразований вида y=f|kx+b| стоит придерживаться следующего порядка действий:
y=f(x) y=f(|x|) (преобразование «модуль аргумента»)
Y=f(|x|) y=f(|kx|) (преобразование сжатия)
Y=f(|kx|) y=f(|k(x+b/k)|) (преобразование сдвига).