Презентация, доклад по теме Определение производной (11 класс, 1 курс СПО(

t² - закон движения материальной точки по прямой

s - путь, пройденный за время t (t ≥ 0)

Вычислим v ср - среднюю скорость точки за промежуток времени от t 1 = 2 до t 2 = 5

s (2) =

4 · 2² =

16;

s (5) =

4 · 5² =

100;

s (5) ̶ s (2) =

100 – 16 = 84;

t 2 - t 1 =

5 – 2.

t точка проходит расстояние S(t).
Пусть ∆t – малый промежуток времени. Путь, пройденный за время t+ ∆t, равен S(t+ ∆t ).
Тогда средняя скорость

∆t

t0

t

t+∆t

t ²

Вычислим v ср

s (t) = 4 t ²;

s (t + Δ t) =

4 (t + Δ t)² ;

Δ s = s (t + Δ t) ̶ s (t) – путь, пройденный точкой за промежуток времени от t до t + Δ t

за промежуток времени от t до t + Δ t

Δ s = 4 (t + Δ t)² - 4 t ² =

(8 t + 4Δ t) Δ t ;

Тогда её мгновенной скоростью v в момент времени t называют предел (если он существует), к которому стремится её средняя скорость на промежутке времени [t; t + Δt] при Δ t → 0 :

Величина Δ t – приращение времени

Величина Δ f = f(t + Δt) – f(t) - приращение пути

оси Ох

А

С

y = k x

у

х

Очевидно – при параллельном переносе прямой, тангенс угла наклона остаётся равен угловому коэффициенту прямой

функции f(x) в точке А( х; f (х) ) называется прямая, представляющая предельное положение секущей АС, (если оно существует) когда точка С стремится к точке А.

секущая

у

х

0

Дадим определение касательной к графику функции

A
●

α

k сек. = tg β

положение касательной.
То есть, касательная есть предельное положение секущей.

Секущая

Задача о вычислении тангенса угла наклона касательной к графику функции

При Δ х → 0 угловой коэффициент секущей (kсек. ) стремится к угловому коэффициенту касательной (kкас. )

y = kx + b

касательной к графику функции

kкас.

В каждой из задач надо было найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю

либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси.
А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось.
Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.

всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному.
В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное.
Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.

построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.
Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений.
В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному.
Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.

вблизи точки М(1;1),
изображённый в разных масштабах.

от некоторой прямой, проходящей через точку М(1;1).

2. То же самое будет происходить с графиком функции вблизи любой другой точки.

3. Этим свойством обладают и многие другие кривые: окружность, гипербола, синусоида и т. д.

Такое свойство функций называют «линейность в малом»

Vмгн.
Значит,

∆x

x0 - ∆x

x – новое значение аргумента

называется приращением функции в точке x0 и обозначается ∆y(x0) .

x0 к точке x = x0 + Δx , нужно:

1. найти значение функции f(x0);

2. найти значение функции f(x0 + Δx)

3. найти разность f(x0 + Δx) – f(x0)

приращению аргумента Δ x , при условии, что приращение Δ x → 0 называется -

дифференцирование функции

Результат выполнения называют

производной

и обозначают:

Х0 ;
найти отношение приращения функции к приращению аргумента;
вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t0:

S'(t)= Vмг(t)

к графику функции  y = f(x) в этой точке.