Презентация, доклад по теме :экстремальные задачи

в мире не происходит ничего, в чём не был бы виден смысл какого-нибудь
максимума или минимума.
Л.Эйлер

задачи имеют большое значение, как для математики, так и для ее приложений.

На прямой c найдите точку C, для которой расстояние AC наименьшее. Существует ли точка D на прямой c, для которой расстояние CD наибольшее?

Решение. Искомой точкой C является основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую c (рис. 1). Действительно, для любой другой точки C’, принадлежащей прямой c отрезок AC’ будет наклонной и, значит его длина AC’ будет больше длины перпендикуляра AC. Точки D, для которой расстояние CD наибольшее, не существует.

R. Точка A, расположена вне этой окружности. На данной окружности найдите точки C и D, для которых расстояние AC наименьшее, а расстояние CD наибольшее.

Решение. Искомыми точками будут точки пересечения прямой AO с окружностью (рис. 2). Действительно, для точки D’ окружности, отличной от D, имеем: AD = AO + OD = AO + OD’ > AD’. Аналогичным образом доказывается, что для любой точки C’ окружности, отличной от C имеет место неравенство AC < AC’.

и В, лежащие от нее по одну сторону. Требуется найти такую точку С на прямой c, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей.

Решение. Если бы точки A и B лежали по разные стороны от прямой c (рис. 3,а), то искомой точкой C была бы точка пересечения отрезка AB и прямой c. Действительно, для любой другой точки C’ прямой c будет выполняться неравенство AC + CB = AB < AC’ + C’B и, следовательно, сумма AC + CB будет наименьшей. Пусть теперь точки A и B лежат по одну сторону от прямой c (рис. 3,б).

точку B’, симметричную B относительно прямой c. Тогда для любой точки C прямой c расстояния CB и CB’ будут равны. Поэтому сумма АС’ + С’В будет наименьшей тогда и только тогда, когда наи­меньшей будет равная ей сумма АС’ + С’В'. Как мы установили последняя сумма является наи­меньшей в случае, если точки А, В', С’ лежат на одной прямой, т.е. ис­комая точка С является точкой пересечения отрезка АВ' с прямой с.

Из этого можно вывести закон отражения света. А именно, известно, что луч света распространяется по кратчайшему пути. Поэтому, если луч света исходит из точки A, отражается от прямой c и приходит в точку B, то точка C будет точкой отражения и, таким образом, имеет место закон отражения света: угол падения светового лу­ча равен углу отражения.

AC, CR ⊥ АВ. Докажите, что периметр высотного треугольника PRQ наименьший по сравнению с периметрами других вписанных треугольников.

Решение Сначала докажем следующее свойство высотного треугольника: Переходим к доказательству свойства минимальности периметра высотного треугольника. Если точки P и Q принадлежат одной полуплоскости с границей AB (рис.1.5), то сумма расстояний

QR+RP обращается в минимум лишь в случае , если QR и RP образуют с AB равные углы (последние следует из задачи Герона).

общей протяженности дорог , связывающих три пункта с четвертым .

Например, необходимо три пункта A, B, C соединить системой дорог так, чтобы общая протяженность построенных дорог была минимальной. В более корректной математической постановке проблема Штейнера формулируется следующим образом.

четвертую точку D плоскости так , чтобы сумма длин AD + BD +CD была минимальной (рис.1.6).

Решение. Для случая , когда данные точки являются вершинами выпуклого четырехугольника, решение этой задачи элементарно : искомой точкой является точка пересечения его диагоналей. Любые две точки из данных были связаны между собой ломанной линей, звенья которой входили бы в состав системы. Общая длина всей системы была бы минимальной .

наиболее рациональным способом системой трубопроводов (из прямолинейных участков).

Обозначим скважины A, B, C точками плоскости. Если бы точки A, B, и C принадлежали одной прямой , то минимальную длину бы имел отрезок , соединяющий крайние точки. Поэтому будем считать, что данные три точки не принадлежат одной прямой . Точки A, B, C определяют некоторый треугольник ABC. Возможны два случая :1) в ABC величина каждого из углов меньше ; 2)в ABC величина одного из углов не меньше  .

Рассмотрим первый случай . Если соединить трубопроводами точки A c B, B c C, C c A, то, оказывается, что длина всей сети отрезков , т. е. AB+ BC + +CA , не будут наименьшей из всех возможных сетей, соединяющих точки A, B и C. Если длины сторон AB=c , BC=a , AC=b треугольника связаны зависимостью a ≤ b ≤ c , то найдется ломаная линия короче указанной (длина этой ломанной равна a+b ) , но оказывается возможным соединить точки A, B и C еще более короткой сетью .

соединить ее отрезками с данными точками A, B и C.

Точкой Торричелли называется такая точка , сумма расстояний которой от трех данных точек плоскости минимальна. Докажем , что точка Торричелли – это такая точка плоскости , из которой каждый из трех отрезков AB, BC и AC виден под углом в  (рис.1.7) .

(рис.1.8). точка D должна быть расположена на окружности L так, что сумма DA+ DB была наименьшей.

Из обобщения теоремы Герона (если заменить прямую дугой окружности ) следует, что AD + DB должны образовывать равные углы с окружностью , а значит и радиусом DC. Повторяя эти рассуждения для двух других точек A и B , убеждаемся , что углы , образованные отрезками AD, BD, CD друг с другом , должны быть равные , т. е. равны по величине  . доказательство было построено на допущении, что две остальные точки были вне круга. Но иначе и быть не может . Пусть точка A находится внутри окружности L, тогда AC ≤CD.В Этом случае при любом расположении точек A, B, D AD+BD≥AB и AD + BD+ CD ≥AB+ AC. Последнее неравенство показывает , что минимальное значение суммы AD + BD+ CD получится , если D совпадает с А , но это противоречит нашему допущению. Значит, что точка находится вне круга.Итак, для отыскания точки D строим на каждый из сторон AB, BC, AC треугольника ABC сегмент, вмещающий угол в  . точка пересечения дуг сегментов – искомая точка (достаточно построить два сегмента).

С, Который по величине не меньше , то точкой Торричелли является вершина этого угла (рис.1.9).

Рассмотренная задача представляет собой задачу Штейнера: Даны три точки А,В,С. Требуется в плоскости ,определяемой этими точками ,найти такую точку Д, сумма расстояний от которой до точек А,В,С была бы минимальной.

стороной АС и площадью S , чтобы сумма длин двух других сторон была наименьшей.

Решение .

На рисунке 1.10 показан AB’C с площадью S=ACH. Заданную площадь треугольника определяет сторона и высота H. Проведем через точку B’ прямую MN, параллельную AC. Теперь задачу можно сформулировать так: на прямой MN найдите точку B, чтобы сумма AB+BC была наименьшей, для случая, когда две точки A и C расположены в одной полуплоскости с границей MN на одном и том же расстоянии от MN. Из задачи Герона следует, что AB=BC, т.е. ABC -равнобедренный.

утвердительный. Нет никаких свидетельств того, что Дидона испытывала затруднения, проявляла нерешительность и затягивала выбор участка. Дидона столкнулась с конкретной управленческой проблемой и успешно с ней справилась, по свидетельству Виргилия. Решение было принято и Карфаген построен. В этом нет никаких сомнений.

C Дидоной связывают изучение изопериметрических задач геометрии, приведшее впоследствии к вариационному исчислению и современным концепциям оптимального управления и теории экстремальных задач. Сложилось довольно стойкое убеждение, что задача Дидоны — исторический анекдот, а не проблема современной науки. В реальности дело обстоит совсем иначе. Гипотеза о том, что у математики есть метод решения задачи Дидоны, с теоретической точки зрения критики не выдерживает.

решение, также была не столь примитивной, как представляется на первый взгляд. При выборе участка Дидона не имела права выходить за пределы территории, контролируемой местным правителем. Ей следовало осуществить выбор участка так, чтобы охватить лагеря своих спутников и учесть различные фортификационные соображения. Понятно, такая общность недоступна в математической модели, известной нам как классическая изопериметрическая задача.


Задача Дидоны, вдохновлявшая наших предков, остается таким же интеллектуальным вызовом, как кантовские звездное небо и моральный закон.

ясного, точного изложения мыслей, использование различных языков математики (символьного, словесного, графического); потому что они возникают в самых различных областях человеческой деятельности .

Общее в решении экстремальных задач заключается в самом характере применения того или иного мате математического метода, т. к. математические методы применяются к математическим моделям того или иного явления. Ведь математика - это универсальный язык науки и техники, средство моделирования процессов и явлений.