Презентация, доклад по математики Уравнения.Виды уравнений

общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

р а в н е н и я

Квадратные уравнения в Европе 13-17 в.в.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.  
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.       
Вывод формулы решения квадратного уравнения  в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Скудные сведения о жизни и учении Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих Пифагора как полубога, совершенного мудреца, чудотворца и мага
За что ценен: В области математики Пифагору приписываются систематическое введение доказательств в геометрию, построение планиметрии прямолинейных фигур, создание учения о подобии, доказательство теоремы о сторонах прямоугольного треугольника
В свободное от математики время: В зрелом возрасте (п он поселился в г. Кротон, где основал строго закрытое сообщество своих последователей,

родился в 1540 году умер 14 февраля 1603 года
Характер: спокойный, веселый
Семейное положение: женат
За что ценен: в трудах Виета алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на символических обозначениях. Виет первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины
В свободное от математики время: по образованию юрист, был советником  Генриха III, Генриха IV, увлекался астрономией

b = 0, где а, b - числа, х - неизвестная величина.

Уравнения второго порядка
Квадратным уравнением называется уравнение вида: ax2 + bx + c = 0, где a, b, c - действительные числа, где а ≠ 0.

уравнением какого-либо вида; если «да», выполнять п. 4, если «нет» – п. 2;
2) установить, какие и в каком порядке необходимо выполнять тождественные и равносильные преобразования (общие для всех видов уравнений и специальные для данного вида), чтобы привести уравнение к простейшему;
3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшему;
4) решить известным способом (по формуле, алгоритму) полученное уравнение;   
5) если нужно, сделать проверку, исследование;
6) записать ответ.

+ b =0 возможны три случая:

-При а ≠ 0 получаем - единственное решение.
- При a = 0 и b = 0 уравнение принимает вид
0х + 0 = 0 - решением является любое значение х .
При а = 0 и b уравнение принимает вид 0х + b = 0 - решений нет.

– не абстрактная выдумка математиков. Многие практические задачи решаются с их помощью. Например, квадратное уравнение позволяет рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов – от элементарных частиц до звёзд.
1-способ. Решение неполных квадратных уравнений;
2-способ. Решение уравнений по стандартной формуле;
3-способ.
Решение приведенного квадратного уравнения;
4-способ.
Графический;
5-способ.
Выделение квадрата двучлена

второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

1)если b =0, то уравнение примет вид
ax2+c= 0, ax2=-c,
если (-с/a)>0, то уравнение имеет 2 корня
ПРИМЕР: 4x2-16 = 0, 4x2= 16, x2= 4, x1= 2;
x2= -2.

2) если с=0 , то уравнение примет вид ax2+ bx = 0
ПРИМЕР: 3x2+9x = 0, 3x(x+3) = 0, 3x= 0, x1= 0,
x+3=0; x2= -3.
3) если b и c равны нулю, то уравнение примет вид
ax2= 0
ПРИМЕР: 8x 2= 0, x2= 0, x = 0.

(D). При решении квадратного уравнения ax2+bx+c=0 могут представиться следующие три случая 1) D <0, то уравнение действительных корней не имеет; 2) D =0, то уравнение имеет два одинаковых корня: x1= x 2= -b/2a; 3) D >0, то уравнение имеет два различных корня:
x1= (-b- )/2a;
x2=(-b+ )/2a
ПРИМЕР1 : 6x2+ x + 1=0 ПРИМЕР2 : x2-3x+4=0 D=1-4*6*1=-23, D=9-4*1*(-4)=25
D<0,корней нет. D>0, 2 различных
корня
x1 =-1, x 2=4.

px +q = 0, где p= b/a; q= c/a,
можно воспользоваться теоремой Виета. ПРИМЕР: x2-4x-5= 0 по т. Виета следовательно x1= -1;
x2= 5.

Обратная теорема позволяет составлять квадратные уравнения по его корням.
ПРИМЕР: eсли x1= 2, x2= -3-корни,
то x1+x2= -1, x1*x2= -6. Следовательно,
получаем уравнение
x2+x-6 = 0.

приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение записывают в виде: x2 + px + q = 0. Теорема: Если приведённое квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет действительные корни х1 и х2, то их сумма равна (-p), а их произведение равно q, то есть х1 + х2 = - р х1 х2 = q. Обратная теорема: Если существуют два числа, сумма которых равна - р , а произведение равно q, то эти числа - корни уравнения x2 + px + q = 0. ПРИМЕР: Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа 2 и - 5. По теореме Виета - р = 2 + (-5) = - 3, то есть р = 3. q = 2 (-5) = - 10. Следовательно, искомое уравнение х2 + 3х - 10 = 0.

где a, b и c – какие угодно числа. Умножая обе части уравнения на 4а, получим 4a2x2+4abx+4ac=0 После переноса свободного члена вправо, уравнение это представится таким образом: 4a2x2+4abx=4ac. Дополним левую часть уравнения до полного квадрата, для чего к обеим частям уравнения прибавим по b2 : 4a2x2+4abx+b2=4ac+b2. Легко проверить, что левая часть уравнения представляет квадрат (2ax+b)2 . Извлекая из обеих частей корней квадратный, получаем , откуда и получаем следующее окончательное значение для х 


Отметим те различные случаи, которые могут получиться при различных значениях коэффициентов. В формулу входит извлечение корня  и, следовательно, если b2-4ac<0, извлечение корня невозможно: это случай комплексных корней, когда вещественных решений не существует. Если же b2-4ac > 0, то квадратное уравнение имеет два вещественных, различных корня, и если
b2-4ac = 0, то согласно формуле, получается одно решение.

переменную в квадрате в одной части, а в другой обычное линейное уравнение.
Пример:x2-0,7x+5,6=0
x2=0,7x-5,6
Далее строятся графики каждой части и находятся точки их пересечения. Координаты этих точек по оси абсцисс и являются корнями квадратного уравнения.

разделах математики: в разложении квадратного трехчлена, в исследовании квадратичной функции, в решении уравнений высших степеней, в решении текстовых задач и задач по геометрии. Некоторые уравнения высших степеней можно решить, сведя их к квадратному.
1) Иногда левую часть уравнения легко разложить на множители, из которых каждый - многочлен не выше 2-ой степени. Тогда приравнивая каждый многочлен к нулю, решаем полученные уравнения. ПРИМЕР: x4+ 5x3+6x2= 0 x2(x2+5x+6)= 0 x2= 0, x2+5x+6= 0.
2) Если уравнение имеет вид ax2n+bxn+c= 0, его можно свести к квадратному, введя новую переменную t= x.n
ПРИМЕР: x4-3x2-4= 0 воспользуемся подстановкой t= x2 t2- 3t-4 = 0
3) В геометрии: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Найти катеты, если один из них на 2 см. больше другого. РЕШЕНИЕ: по т. Пифагора a2+ b2= c2 Пусть х см.-1 катет, тогда (х+2) см.-2 катет. Составим уравнение: x2+ (x+2)2= 102

0 а = 1 b = - 5 c = 6 D = (-5)2 - 4 1 6 = 1, D > 0 - уравнение имеет два различных действительных корня. х1 = х2 =
Решить уравнение: х2 - 4х + 4 = 0 a = 1 b = - 4 c = 4 D = (- 4)2 - 4 1 4 = 0, D = 0 - уравнение имеет два равных действительных корня. х1 = х2 =
Решить уравнение: х2 + х + 1 = 0 a = 1 b = 1 c = 1 D = 12 - 4 1 1 = - 3, D < 0 - уравнение не имеет действительных корней.

2. Квадратное уравнение называется неполным, если....      
3. Квадратное уравнение называется приведенным, если....
4. Формула вычисления дискриминанта для нечетного в....
5. Если в- четное. то дискриминант имеет вид....
6. Квадратное уравнение имеет 2 корня, если....
7. Дискриминант равен нулю, то уравнение имеет....
8.Квадратное уравнение не имеет корней, если...
9. Формула для вычисления корней квадратного уравнения, для нечетного в....
10. Формула для вычисления корней квадратного уравнения, для четного в....

4. 22-3/х=0
  2. Укажите в квадратном уравнении 4х-3х2+7=0 его коэффициенты.
     1. а=3, в=4, с=7              3. а=-3, в=4, с=7
     2. а=4, в=3, с=7              4. а=7, в=4, с=3.
  3. Решите уравнение:  3а2-27=0
      1. 4;3         2. 3            3. 3         4. -3;3
  4. Определите, сколько корней имеет квадратное уравнение   4х2-4х+1=0
      1. 2 корня         2. не имеет корней      3. 1 корень
   5. Решите уравнение:    2х2+3х-5=0
       1. 1;2,5       2. -1;2,5       3. -2,5;1        4.-3;1
  6. Найдите корни уравнения:    х(2х+4)=6
     1. -1;3        2. 1;3          3.-2;3           4. -3;1
  7.Чему равно произведение корней уравнения  2х2+11х+14=0
      1.14           2. 7             3.-7              4.-14
   8. Решите уравнение: (х+2,5)/х=3х/2
       1. -1;5/3     2. -2;3         3. 1;2/3        4. -5/3;1
  9. Решите уравнение: х/(х-1)-2/(х+1)=8/(х2-1)
        1. -3;2        2. 2;3          3. -2;1/3       4. 3;-2 
  
 

уметь применять формулы для нахождения дискриминанта и корней квадратного уравнения; познакомить учащихся с историей квадратных уравнений
Развивающие цели:
-Развитие умений обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов
Воспитательные цели:
-воспитание уважительного отношения к сверстникам
Оборудование:
1.Карточки
2.Плакаты