Презентация, доклад по математике Теория вероятности в ЕГЭ

–
это раздел математики, изучающий вероятно-статистические закономерности

вода в чайнике, стоящим на горячей плите закипит;
ваш день рождения – 19 октября
день рождение вашего друга – 30 февраля;
вы выиграете участвуя в лотереи;
вы не выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотереи;
вы проиграете партию в шахматы;
на следующей недели испортиться погода;
вы нажали на звонок, а он не зазвонил;
после четверга будет пятница;
после пятницы будет воскресенье.

исходов

выпадет 6 очков?

Рассмотрим событие А, которое означает, что в сумме выпадет 6 очков.
Количество равновозможных
исходов – 36.
Количество благоприятных
исходов – 5.


Р(А) =

из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.


Решение. Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три: 110, 101, 011, а всего комбинаций 23 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна:

80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Решение.
На третий день запланировано выступлений.

Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна

Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до
ближайшей стороны квадрата не превосходит 0,25?

Решение.



Площадь всего квадрата равна 1.

Множество точек, расстояние от которых до ближайшей его стороны не превосходит 0,25 – это закрашенная на рисунке часть квадрата (внутри данного квадрата расположен квадрат со стороной, равной 0,5).

Площадь этой части равна 1-0,5² =0,75.
Отсюда вероятность равна Р(А)= 0,75/1=0,75 Ответ: 0,75

Разные задачи

подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.
Решение.

Пусть Аня оказалась в некоторой группе.

Тогда для 20 оставшихся учащихся оказаться с ней в одной группе есть две возможности.

Вероятность этого события равна 2 : 20 = 0,1.

события A не изменяет вероятности появления события B.

Пример 1. При бросании кубика вероятность появления числа 2 при втором бросании не зависит от результатов первого бросания.

Пример 2. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

P(А)⋅Р(В)

Теорема произведения вероятностей

определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.


Решение. Начинает игру – О, не начинает - Р
Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру.
О Р О
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим:

0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Монеты

цифр и двух букв. При этом используются только буквы АВЕКМНОРСТУХ. С какой вероятностью все цифры и все буквы в номере автомобиля будут разными?

Решение.
Количество всех исходов: 12 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 12 ∙ 12

А: «Все цифры и все буквы в номере автомобиля будут разными»
Количество благоприятных исходов: 12 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 11 ∙ 10

Р(А) =

.
Ответ:

же красными точками обозначим развилки. То есть, это точки в которых паук выбирает один из двух путей.

Разные задачи

3. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7 (события А, B и С).

Решение. Поскольку события А, В И С являются независимыми, то искомая вероятность вычисляется, согласно формуле

Выстрелы

будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.


Решение.
По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035.

исключает появления других событий в одном и том же испытании.

Пример
несовместные события: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное;
совместные события: идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное.

P(А)+Р(В)

Теорема сложения вероятностей

из него 0,4·0,9 = 0,36
или если схватит не пристрелянный револьвер и попадает из него 0,6·0,2 = 0,12
Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
0,36 + 0,12 = 0,48.
Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна
1 − 0,48 = 0,52.

2. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Выстрелы

того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. 0,38

Решение.
Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров»
и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров».
Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем:
0,94 = 0,56 + P(В), откуда
P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение.
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен;

B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен.

Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

попадания при первом выстреле равна 0.3, а при каждом последующем - 0.7.Сколько потребуется выстрелов для того, чтобы вероятность хотя бы одного попадания по цели была не менее 0.97?

Выстрелы