Презентация, доклад по математике Теория вероятности для решения задачи ЕГЭ

нескольких попарно несовместных событий, 
безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B); P( +  +…+ =P( +P +…+P( ).


Теорема сложения вероятностей совместных событий.
  Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

произведению вероятностей этих событий:
P(AB)=P(A)•P(B)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. 
Вероятность совместного появления двух зависимых событий
равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
P(AB)=P(A)•  (B)=P(B)• (A)

произошло, называется условной вероятностью
 события A при условии B и обозначается  (A) или P(A/B). Если A и B – независимые события, то P(B)- (B)= (B).

вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение


Р=0,2+0,15=0,25

что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3.
Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12.
Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение
А – кофе закончится в 1м автомате
В - кофе закончится во 2м автомате
Р(А)=Р(В)=0,3
кофе закончится в обоих автоматах


- кофе закончится хотя бы в одном

Но противоположное событие

означает – кофе останется в обоих автоматах

быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение

- автомат неисправен

- автомат исправен

в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение

Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение

Если А играет чёрными, то потом белыми.

Р=0,52*0,3=0,156

при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение

Независимые события

Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение

Р1(попадание в первую группу одного из близнецов) =

Р2(попадание в первую группу второго из близнецов) =

Р(обоих)=

Так как групп две, то

контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.

Решение

10% брака – это 0,1 с браком и 0,9 – без брака
ОТК обнаруживает 80% от бракованных, это

В продажу поступило 1-0,08=0,92 всех произведённых тарелок,
из них 0,9 – без брака

с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение

того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение

выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение

выпускает 45% этих стекол, а вторая – 55%.
Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите
вероятность того, что случайно купленное в магазине
стекло окажется бракованным.

.

из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

если стреляет
из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

равна 0,02. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система
забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система
по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность
того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.

анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Пусть   – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом.
Тогда   – вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, не болен гепатитом.

пациент болен и (умножение) анализ положителен
или (сложение)
пациент не болен и анализ ложно положителен
Так как по условию задачи  у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат,  то

р*0,9+(1-р)*0,01=0,06

0,9р-0,01р=0,05

0,89р=0,05

Р=5/89

Р=0,05617

Округляем до тысячных: р=0,056 .
Ответ: 0,056.

Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому
на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому
ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный,
определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу

.

Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89.
Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше
10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11
задач.

P(x>11)=0.67
P(x>10)=0.74
P(x=11) - ?
(x>10)=(x=11)+(x>11)
0.74=P(x=11)+0.67
P(x=11)=0.07
Другой способ рассуждений.
Больше 10: 11ю, 12ю,….. Р1=0,74
Больше 11:12ю, 13ю,… Р2=0,67
Ровно 11: Р=Р1-Р2=0,74-0,67=0,07

будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965.
Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр
меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94.
Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите
вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.