Презентация, доклад по математике по теме Логарифмическая функция

Содержание

Содержание: Логарифм2.Логарифмическая функция3.Логарифмические уравнения4.Логарифмические неравенства

Слайд 1 " Логарифмическая функция"

Слайд 2Содержание:
Логарифм




2.Логарифмическая функция
3.Логарифмические уравнения
4.Логарифмические неравенства

Содержание: Логарифм2.Логарифмическая функция3.Логарифмические уравнения4.Логарифмические неравенства

Слайд 3
Определение
логарифма

Свойства логарифмов
ЛОГАРИФМЫ
История
логарифма




Логарифмическая линейка

Применение
логарифмов

Определение логарифмаСвойства логарифмовЛОГАРИФМЫИсториялогарифмаЛогарифмическая линейкаПрименение логарифмов

Слайд 4История логарифма

Логарифмы были изобретены Джоном Непером (1550-1617), опубликованы им в

1614 году.

Название введено Непером, происходит от греческих слов logoz и ariumoz - оно означает буквально “числа отношений”.

Независимо от него пришел к откры-тию логарифмов Йост Бюрги (1552-1632), который опубликовал свои таблицы в 1620 году.

История логарифма Логарифмы были изобретены Джоном Непером (1550-1617), опубликованы им в 1614 году.Название введено Непером, происходит от

Слайд 5Логарифмы с основанием e ввел учитель математики Спейдел.

Слово основание заимствовано

из теории о степенях и перенесено в теорию логарифмов Эйлером.

Глагол “логарифмировать” появился в 19 веке у Коппе.

Логарифмы с основанием e ввел учитель математики Спейдел. Слово основание заимствовано из теории о степенях и перенесено

Слайд 6Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов.



Прингсхейм обозначал логарифм натурального числа через ln.

Определение логарифма как показателя степени данного основания можно найти у Валлиса (1665 год), Бернулли (1694 год).


Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов. Прингсхейм обозначал логарифм натурального числа через

Слайд 7

После появления первых таблиц появились таблицы, содержащие числа от 1 до

100000 и их десятичные логарифмы с одиннадцатью десятичными знаками.

Первая таблица десятичных логарифмов опубликована в 1617 году Г.Бригсом.

После появления первых таблиц появились таблицы, содержащие числа от 1 до 100000 и их десятичные логарифмы с

Слайд 8В течение более чем трех столетий все сложные вычисления выполнялись с

помощью логарифмов.

Использование логарифмов позволило астрономам успешно справиться с вычислениями, которые были необходимы для применения законов Ньютона

В течение более чем трех столетий все сложные вычисления выполнялись с помощью логарифмов.Использование логарифмов позволило астрономам успешно

Слайд 9Период полураспада вещества.
λ = ln2/T

T1/2 = λ-1ln2.

λ-постоянная распада

Применение

логарифмов в физике.
Период полураспада вещества. λ = ln2/T T1/2 = λ-1ln2. λ-постоянная распадаПрименение логарифмов в физике.

Слайд 10Коэффициент звукоизоляции.
 Δ L = 10lg(I2/I1), дБ
I1 - сила звука, падающего

на перегородку I2 - сила звука, прошедшего через перегородку


Коэффициент звукоизоляции.  Δ L = 10lg(I2/I1), дБI1 - сила звука, падающего на перегородку I2 - сила звука,

Слайд 11Логарифм в природе
В устройстве уха можно заметить орган, который называется улиткой.
Этот

орган представляет собой спирально закрученную трубку. Такая спираль наз. логарифмической.



Логарифм в природеВ устройстве уха можно заметить орган, который называется улиткой.Этот орган представляет собой спирально закрученную трубку.

Слайд 12Первым ученым, открывшим эту кривую, был Р.Декарт.
Затем свойства этой спирали были

исследованы Якобом Бернулли.


В логарифмической спирали углу поворота пропорционален логарифм расстояния от полюса до точки кривой. Спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс, под одним и тем же углом.

Первым ученым, открывшим эту кривую, был Р.Декарт.Затем свойства этой спирали были исследованы Якобом Бернулли.В логарифмической спирали углу

Слайд 13В 1846 г. физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением,

вызывающим это ощущение.
В 1860г. Фехнер сформулировал общий психофизический закон
Вебера-Фехнера: S=klg ,где
S-ощущение;
J0-первоначальное раздражение;
J-последующее раздражение;
K-коэффициент пропорциональности.


Логарифм в психофизике

В 1846 г. физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение.В 1860г. Фехнер сформулировал

Слайд 14Логарифмы в музыке.
Величина какого-либо интервала в долях этого тона выражается формулой:


,

где

f0-частота звука «до»;
fc-частота любого другого звука.

Логарифмы в музыке.Величина какого-либо интервала в долях этого тона выражается формулой:, гдеf0-частота звука «до»;fc-частота любого другого звука.

Слайд 15Логарифмическая линейка
В 1654 г. Роберт Биссакар, а в 1657 г.

независимо С. Патридж разработали логарифмическую линейку - это счетный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются

операциями над логарифмами этих чисел.


Логарифмическая линейка В 1654 г. Роберт Биссакар, а в 1657 г. независимо С. Патридж разработали логарифмическую линейку

Слайд 16 Логарифмическая линейка состоит из 3х частей:

1)самой линейки: корпуса линейки с нанесенными

на ней шкалами;
2)движка- подвижной части,- скользящего в желобке корпуса линейки;

3)бегунка, состоящего из вделанного в металлическую рамку стеклышка. Посредине стеклышка нанесена тонкая визирная линия.

Логарифмическая линейка состоит из 3х частей:1)самой линейки: корпуса линейки с нанесенными на ней шкалами;2)движка- подвижной части,- скользящего

Слайд 17Шкалы логарифмической линейки:
1)шкала кубов-самая верхняя.
2)шкала квадратов
3)основная шкала.
4)шкала логарифмов.

Шкалы логарифмической линейки:1)шкала кубов-самая верхняя.2)шкала квадратов3)основная шкала.4)шкала логарифмов.

Слайд 18 Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени x, в

которую нужно возвести a, чтобы получить число b ( b > 0, a > 0, a ≠ 1 ).
Запись log a b= x равнозначно записи ax= b.

Определение логарифма


Примеры. log 2 8= 3, так как 23 = 8; log ½ 16= -4, так как (1/2) –4 =16

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени x, в которую нужно возвести a, чтобы получить

Слайд 19 Из определения логарифма вытекает следующее тождество:



где a - основание

логарифма .


Loga1=0

Logaa=1

Из определения логарифма вытекает следующее тождество:где a - основание логарифма . Loga1=0Logaa=1

Слайд 20 1. log a bc = log a b + log a

c

2.log a b/c = log a b – log a c

3. log a b r = r log a b

Свойства логарифмов





1. log a bc = log a b + log a c

Слайд 211. log a bc = log a b + log a

c

1) a log ab = b, a log ac = c , по основному логарифмическому тождеству
2) a log a b + log a c =bc
3) log a b + log a c = log a bc,
по определению логарифма


1. log a bc = log a b + log a c1) a log ab = b,

Слайд 222.log a b/c = log a b – log a c


1)a log a b = b, a log a c =c, по
основному логарифмическому
тождеству
2) a log a b - log a c = b/c
3) log a b –log a c = log a b/c, по
определению логарифма 


2.log a b/c = log a b – log a c 1)a log a b = b,

Слайд 231) alog ab=b, по основному логарифмическому тождеству 2) a r log a

b = b r 3) r log a b = log a b r, по определению логарифма

3. log a b r = r log a b


1) alog ab=b, по основному логарифмическому тождеству 2) a r log a b = b r

Слайд 244. log a b 2n = 2n log a ⎜b ⎜,

n ∈ Z   5. log a b= log c b / log c a 6. log a b= 1 / log b a   7. log a b= log ar b r


4. log a b 2n = 2n log a ⎜b ⎜, n ∈ Z   5. log

Слайд 25Логарифмическая функция


1) Определение
2) Свойства


Логарифмическая функция 1) Определение 2) Свойства

Слайд 26Функция y = log a x, где а – постоянное положительное число
(не равное 1),

называется логарифмической.

Логарифмическая функция обратна показательной.

определение


Функция y = log a x, где а – постоянное положительное число (не равное 1), называется логарифмической. Логарифмическая функция обратна показательной.определение

Слайд 271. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.( D∈( 0; +∞

)).

Свойства


2. Множество значений логарифмической функции – множество R+ всех действительных чисел .

Логарифмическая функция y = log a x является возрастающей , если a > 1.

Если 0 < a < 1, то функция убывающая.

3.

1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.( D∈( 0; +∞ )).Свойства 2. Множество значений логарифмической функции – множество

Слайд 28 Если а > 1,то функция принимает положительные значения при x > 1, отрицательные – при 0 



6. График функции y = log a x пересекает ось «ох» в точке с координатами (1;0)

С

В

О

Й

С

Т

В

А

5. Функция y = log a x непрерывна.

Если 0 < a < 1, то функция принимает положительные значения при 0 < x < 1, отрицательные  - при x > 1.

4.

Если а > 1,то функция принимает положительные значения при x > 1, отрицательные – при 0 

Слайд 29Логарифмические уравнения
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное находится под

знаком логарифмической функции.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида: loga ƒ(x)=b,
где a>0, a≠1, ƒ(x)>0.


Это уравнение равносильно уравнению ƒ(x)=ab

В случае, когда ƒ (x)=x, x>0,
логарифмическое уравнение имеет решение x=ab.

Логарифмические уравнения Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное находится под знаком логарифмической функции.Простейшим логарифмическим уравнением является

Слайд 305. Переход к логарифму по новому основанию.
Методы решения





1. Метод, основанный

на определении логарифма;

2. Решение с помощью
потенцирования;

3.Применение основного логарифмического тождества;

4. Введение нового неизвестного;

5. Переход к логарифму по новому основанию.Методы решения 1. Метод, основанный на определении логарифма;2. Решение с помощью

Слайд 31Метод, основанный на определении логарифма.
1.Решить уравнение log1/5log5 =0 Используя

определение логарифма, имеем log5 = (1/5)0, т.е.
log5 =1,
откуда =51
Следовательно, 5х=25 ,
х=5 .


Проверка

log1/5log5 =log1/5log55=log1/51=0

Ответ: х=5.

Метод, основанный на определении логарифма.1.Решить уравнение log1/5log5 =0 Используя определение логарифма, имеем log5

Слайд 32Метод, использующий монотонность логарифмической функции.
Все корни последнего уравнения и будут корнями

исходного уравнения.


Уравнение logaƒ(x)=logag(x) можно решить по схеме :

найти ОДЗ этого уравнения ;

2)решить на ОДЗ этого уравнения равносильное ему уравнение ƒ(x)=g(x).

Метод, использующий монотонность логарифмической функции. Все корни последнего уравнения и будут корнями исходного уравнения.Уравнение logaƒ(x)=logag(x) можно решить по

Слайд 33Решение:Так как D(loga)=R+ , то х-5>0 и x+7>0.
Имеем х-5>0; x>5; x+7>0

<=> x>-7 Итак ,ОДЗ: x>5.
Исходное уравнение можно представить
в виде:

Пример. Решить уравнение:
lg8-lg(x-5)=lg2-lg

Возведя обе части в квадрат, получим 16(х+7)=х2-10х+25.
Решение этого квадратного уравнения х1=-3, х2=29.
Число х=-3 не входит в ОДЗ. Следовательно, х=29.
Ответ: х=29.


Это уравнение при x>5 равносильно

Решение:Так как D(loga)=R+ , то х-5>0 и x+7>0.Имеем х-5>0; x>5; x+7>0 x>-7 Итак ,ОДЗ:

Слайд 34Замечание.
Переход от равенства logaa=logab
к равенству а=b называется потенцированием

по основанию а (а>0, а ≠ 1 ). Применяя потенцирование, мы совершаем переход к уравнению, которое не является равносильным для исходного уравнения. Поэтому, определив все корни полученного уравнения, необходимо сделать проверку и установить, какие корни являются посторонними.


Замечание. Переход от равенства logaa=logab к равенству а=b называется потенцированием по основанию а (а>0, а ≠ 1

Слайд 35Применение основного
логарифмического тождества.
Решить уравнение log2(9-2x)=10lg(3-x)
Решение: ОДЗ находится решением системы:


Применив в

правой части основное логарифмическое тождество, получим 10lg(3-x)=3-x .Уравнение примет вид log2(9-2x)=3-x
Используя определение логарифма, имеем 9-2х=23-х ; 9-2х=8/2x
Полагая 2х=y, y>0 получаем 9-y= 8/y
y2-9y+8=0
y ≠0, откуда y1 =1, y2 =8
Следовательно , 2х=1 или 2х=8 , т.е. х1=0,х2=3.
Но х2=3-посторонний корень, т.к. не входит в ОДЗ.
Ответ: 0


Применение основного логарифмического тождества.Решить уравнение log2(9-2x)=10lg(3-x)Решение: ОДЗ находится решением системы:Применив в правой части основное логарифмическое тождество, получим

Слайд 36Введение нового неизвестного.
Решить уравнение lg2x-3lgx=lg(x2)-4
Решение:
ОДЗ данного уравнения х>0, поэтому
lg(x2)=2lgx,

y=2lgx
Тогда уравнение примет вид y2-5y+4=0
Его решения y1=1 , y2=4
Откуда имеем

Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: 10;10000.


Введение нового неизвестного.Решить уравнение lg2x-3lgx=lg(x2)-4Решение: ОДЗ данного уравнения х>0, поэтому lg(x2)=2lgx, y=2lgxТогда уравнение примет вид y2-5y+4=0Его решения

Слайд 37 Переход к логарифму по новому основанию.
Решить уравнение log2(x2-1)=log1/2(x-1)
Решение: Найдём ОДЗ

этого уравнения.
x2-1>0 ⇔(x-1)(x+1) >0 ⇔ x<-1или x>1.
Преобразуем выражение правой части уравнения к логарифму по основанию 2. Используя формулу перехода, получим


В результате имеем уравнение log2(x2-1)=-log2(x-1)
Отсюда, используя свойства логарифмической функции, получим
x2-1=(x-1)-1⇔x2-1=1/x-1 Преобразования дают (х2-1)(х-1)=1<=>
х3-х2-х+1=1 , т.е. х(х2-х-1)=0.
Решая его получим х1=0,
Из найденных трёх значений
лишь входит в ОДЗ, т.к. он больше 1

Ответ:



Переход к логарифму по новому основанию.Решить уравнение log2(x2-1)=log1/2(x-1) Решение: Найдём ОДЗ этого уравнения. x2-1>0 ⇔(x-1)(x+1) >0 ⇔

Слайд 38Логарифмические неравенства
Примеры решения

Логарифмические неравенства Примеры решения

Слайд 39Пример 1
Решить неравенство log8(x2-4x+3)0.
Кроме

того, 1=log88 и неравенство принимает вид log8(x2-4x+3)< log88. Отсюда, исходя из области определения и свойств монотоннос-ти, при а>1 имеем


или

Пример 1Решить неравенство log8(x2-4x+3)0. Кроме того, 1=log88 и неравенство принимает вид log8(x2-4x+3)< log88. Отсюда, исходя из области

Слайд 40Ответ:
x∈(-1:1)∨(3:5)

Каждое неравенство решаем методом интервалов:
1)x2-4x+3>0, (x-1)(x-3)>0,
т.е. x

x>3

2) x2-4x-5<0, (x+1)(x-5)<0
т.е. –1

Совмещая промежутки, имеем:
x∈(-1:1)∨(3:5)

Ответ: x∈(-1:1)∨(3:5) Каждое неравенство решаем методом интервалов:1)x2-4x+3>0, (x-1)(x-3)>0, т.е. x32) x2-4x-5

Слайд 41Пример 2
log 2 (x-1) > 2
Правая часть данного неравенства имеет смысл

при всех значениях x, а левая часть при x – 1 > 0, т.е. при x > 1

Так как логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, то неравенство при условии x – 1 > 0 выполняется, если x – 1 > 4.

Таким образом, данное неравенство равносильно системе неравенств:

x ∈ (5;+∞).

Ответ: x ∈ (5;+∞).


Пример 2log 2 (x-1) > 2Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях x, а левая
Скачать презентацию

Похожие презентации

Презентация по алгебре на тему Арифметическая прогрессия Презентация по алгебре на тему Арифметическая прогрессия 205
Формулы сокращенного умножения 7 класс Формулы сокращенного умножения 7 класс 306
Презентация к проекту Статистика Презентация к проекту Статистика 279
Презентация по математике на тему Движение в математике Презентация по математике на тему Движение в математике 169
Презентация по алгебре на тему Решение задач с помощью уравнений (7 класс) Презентация по алгебре на тему Решение задач с помощью уравнений (7 класс) 473
Презентация по математике Степень с натуральным показателем 7 класс Презентация по математике Степень с натуральным показателем 7 класс 220

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть