Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании.
Виды инвариантов:
четность (нечетность);
остаток от деления;
перестановки;
раскладки;
раскраски;
чередование и т. п
знак произведения нескольких (отличных от нуля) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.
+
–
+
+
+
–
–
–
+
на
=
на
на
=
=
1чёрная и 3 белые
1чёрная и 3 белые
3 чёрные и 1 белая
3 чёрные и 1 белая
№ 1 В таблице 3*3 угловая клетка закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
Ответ: невозможно
среди заштрихованных чисел всегда будет оставаться –1
Ответ: нельзя
№3. Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?
При любом прыжке тип расстановки меняется.
если исходная расстановка была правильная, то после 1991 прыжка расстановка будет неправильная, так как 1991 – число нечётное, и кузнечики не смогут оказаться на прежних местах.
Ответ: нет.
что два числа образуют в этой перестановке инверсию, если большее из этих чисел предшествует меньшему.
Ответ: нет.
Присвоим автомобилям номера 1, 2, 3,……,24, 25 в том порядке, в каком они располагаются на старте
Ответ: чётное число обгонов.
Например, чтобы попасть с чёрного поля снова на чёрное, надо сделать как минимум два хода. Так что для того, чтобы вернуться на исходное поле, надо сделать чётное число ходов.
Шахматный конь ходит с чёрного поля на белое и наоборот.
Решение:
Каждая костяшка домино покрывает два поля: чёрное и белое. Чёрных и белых полей поровну, так что покрывать так, чтобы остались свободными два чёрных поля, нельзя.
Ответ: нельзя.
Выигрышная стратегия для второго игрока: мысленно разбив квадрат 2008 × 2008 на квадратики 2 х 2, второй игрок, после того как первый закрасит одну клетку в одном из квадратов 2 х 2, «докрашивает» его.
В силу того, что произведение 2008 × 2008 делится на 4 = 2×2, то очевидно, что тогда последний ход всегда останется за вторым игроком.
Выигрышная стратегия: своим ходом второй игрок может создать себе в одном из углов доски место для хода. Заметим, что первый игрок закрашивает больший участок доски, чем второй. После того как будут исчерпаны ходы в остальной части доски (а это рано или поздно наступит), второй будет иметь «запасный» ход «в угол».
Решение:
Число А составлено из одних девяток, следовательно, оно делится на 9. При суммировании цифр числа это свойство сохраняется, т. е. является инвариантом преобразования Σ(х).
А = 999999999……..9
31998
А1=Σ(А) = 9+9+9+…+9 = 9 х 31998 = 9 х 9999 = 91000 < 101000.
Число 101000 записано при помощи 1001 цифры, т.о., полученное число А1 записано с помощью менее, чем 1000 цифр.
Число А2 = Σ(А1) делится на 9, а значит,
А2 = Σ(А1) < 9*1000 = 9000 = 9*103 < 10*103 = 104, так что А2 записано не более, чем четырьмя цифрами.
А3=Σ(А2) < 9 *4 = 36 и делится на 9, т.е. А3 может принимать только значения 9, 18, 27. Во всех этих случаях Σ(А3) = 9.
Ответ: 9.
Решение
Снова заменим плюсы и минусы на +1 и –1.
Инвариантом будет произведение чисел, стоящих в чёрных клетках. И раз оно равно числу –1, то нельзя получить таблицу, не содержащую ни одного минуса.
Ответ: нельзя.
Доказательство
Используем раскраску доски чёрными и белыми чередующимися по цвету строками. Чёрных и белых квадратов оказывается поровну – 32.
Как бы мы ни располагали данную на рисунке фигуру, она будет накрывать три квадрата одного цвета один другого. Прямоугольники 1 х 4 либо накрывают одинаковое количество чёрных и белых квадратов, либо – 4 квадрата только одного цвета. Так что всякий раз, накрывая ими из 32 – ух по два, то по четыре квадрата, никак не останется 1 или 3 свободных для указанной фигурки.
Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.
Email: Нажмите что бы посмотреть