Презентация, доклад по математике Основные формулы тригонометрии

методическое пособие по алгебре по теме

«Основные формулы тригонометрии».

Составил
учитель математики первой категории
Гавинская Елена Вячеславовна

2015 – 2016 учебный год

sin2x+cos2x=1

ЕГЭ, ежегодно предлагаются для решения задания по тригонометрии. Причем они содержатся и в группе В, и в группе С. Поэтому возникает необходимость глубокого и всестороннего повторения теории и всех типов возможных заданий по указанной теме. Данное пособие поможет учителям организовать итоговое повторение в 9 и 11 классах при подготовке к экзамену, а учащиеся смогут найти в нем всю необходимую теорию и образцы оформления основных типов практических заданий для успешной сдачи ЕГЭ.

учащихся 9 – 11 классов для подготовки к сдаче Единого Государственного Экзамена по математике.

переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все другие разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.

убеждает хотя бы такой факт. Для предсказания момента наступления солнечного или лунного затмения необходимо произвести расчеты, требующие привлечения тригонометрии.   Весьма   точно   предсказывали   затмения   еще   древне-вавилонские   ученые. По-видимому, они уже владели элементарными тригонометрическими понятиями.

Из истории тригонометрии

(продолжение)

засвидетельствованные тригонометрические таблицы были составлены во втором веке до н. э. Их автором был греческий астроном Г и п п а р х. Таблицы эти до нас не дошли, но в усовершенствованном виде они были включены в «Альмагест» («Великое построение») александрийского астронома Птолемея. Таблицы Птолемея подобны таблицам синусов от 0° до 90°, составленным через каждые четверть градуса. В «Альмагесте», в частности, есть формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, содержатся также элементы сферической тригонометрии. (Сферическая тригонометрия рассматривает углы и другие фигуры не на плоскости, а на сфере.)

Из истории тригонометрии

(продолжение)

средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты учеными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригонометрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделяется задаче решения треугольников. Одним из самых примечательных сочинений по тригонометрии этого периода является «Трактат о четырехугольнике» Насир -Эддина (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометрических понятий, по-новому доказаны некоторые уже известные результаты.

Европе были выполнены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отметить немецкого ученого Региомонтана (XV век). Его главное произведение «Пять книг о различного рода треугольниках» содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутствием удобных современных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления «Пяти книг» Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в самостоятельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составлены также довольно подробные тригонометрические таблицы.

рассматривать отрицательные углы; появилась возможность рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометрических функций любого числа с любой наперед заданной точностью.
Существенный вклад в развитие тригонометрии внес Эйлер. Им дано современное определение тригонометрических функций и указано на тесную связь этих функций с показательными функциями.

(продолжение)

Из истории тригонометрии

математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и пр.

Из истории тригонометрии

(продолжение)

окружности с центром О радиуса 1. Будем считать эту прямую числовой осью с началом в точке Р, а положительным направлением на прямой – направление вверх. За единицу длины на числовой оси возьмем радиус окружности. Отметим на прямой несколько точек :
(напомним, что - иррациональное число, приближенно равное 3,14) . Вообразив эту прямую в виде нерастяжимой нити, закрепленной на окружности в точке Р, будем мысленно наматывать ее на окружность. При этом точки числовой прямой с координатами 1, ,-1, -2 перейдут соответственно в точки окружности М1, М2, М3, М4, такие, что длина дуги РМ1 равна 1, длина дуги РМ2 равна и т.д.
Таким образом, каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

Его значение объясняется большой ролью, которую играет в науке и технике окружность и связанные с ней функции синус и косинус. Без синуса и косинуса невозможно описание волновых процессов в электронике, электротехнике, гидродинамике, механике. Например, ток и напряжение в электрической розетке описывается синусом или косинусом. Число равно отношению длины окружности к удвоенному радиусу (диаметру). Оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Такие бесконечные числа называются иррациональными. Долгое время в математике существовала задача построения с помощью циркуля и линейки квадрата, площадь которого равна площади круга данного радиуса. Это так называемая "задача о квадратуре круга". Она не может быть решена, т.к. отношение длины окружности к диаметру (или радиусу) не может быть выражено числом конечной длины. Число пи с точностью 17 верных знаков равно 3.14159265358979328.

Т.к. точке прямой с координатой 1 ставится в соответствие точка М1 , то естественно считать угол РОМ1 единичным и мерой этого угла измерять другие углы. Например, угол РОМ2 следует считать равным , угол РОМ3 – равным «-1», угол РОМ4 – равным «-2». Такой способ измерения углов широко используется в математике и физике. В этом случае говорят, что углы измеряются в радианной мере, а угол РОМ1 называют углом в 1 радиан (1 рад).
Отметим, что длина дуги окружности РМ1 равна радиусу.

радиуса R и отметим на ней дугу PM, длина которой равна R, и угол POM (см. рисунок).
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Т.к. дуга длиной R (полуокружность) стягивает центральный угол в 1800, то дуга длиной R стягивает угол, в раз меньший, т.е.
1 рад = .
Т.к. 3,14 , то 1 рад 57,30.
Если угол содержит радиан, то его градусная мера равна

.

О

Р(1;0)

1

-1

-1

x

y

М

Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол рад, где R .

1) Пусть . Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки P(1;0) против часовой стрелки, прошла путь длиной . Конечную точку пути обозначим М.
В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол рад против часовой стрелки.

Пусть .В этом случае поворот на угол рад означает, что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла путь длиной .
3) Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте.

Вообще, если 0 ,то при повороте на угол получается та же самая точка, что и при повороте на угол 0 .

точки (1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается sin ).

x

y

O

sin

Р(1;0)

1

-1

-1

Синус угла определен для любого угла, а его значения заключены от «-1» до «1», т.е.
.

поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается cos ).

Р(1;0)

x

y

-1

-1

1

O

cos

Косинус угла определен для любого угла, а его значения заключены от -1 до 1, т.е.
.

к его косинусу (обозначается tg ).
Тангенс угла определен для любых углов, кроме .
Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу (обозначается ctg ).
Котангенс угла определен для любых углов, кроме .

меняется ли функция на кофункцию (если в формуле присутствуют углы , то происходит замена на кофункцию, т.е.: sin cos ; cos sin ; tg ctg ; ctg tg ;
если в формуле углы ,то замены на кофункцию не происходит).

Например, 1) sin( ) = cos = 2) sin( ) = -sin =
3) cos( ) = sin = 4) cos( ) = cos =
5) tg( ) = -ctg = -1 6) tg( ) = tg =
7) ctg( ) = -tg = 8) ctg( ) = ctg = 1

функция

четверть

sin ( ) – 2 четверть, т.е. знак результата «+»
cos( ) – 1 четверть, т.е. знак результата «-»
tg( ) – 3 четверть, т.е. знак результата «+»
ctg( ) – 4 четверть, т.е. знак результата «-»

и
через синусы и косинусы углов и .

виде:

Вывод формул:

2.

3.

Складывая равенства (1) и (2) , получим:

отсюда:

значениях входящих в него величин.

Основное тригонометрическое тождество.

O

1

Р(1;0)

-1

-1

Пусть точка М(x ;y) единичной окружности получена поворотом точки (1;0) на угол . Тогда по определению синуса и косинуса

;

.

Точка М принадлежит единичной окружности, поэтому её координаты (x ; y) удовлетворяют уравнению x2+y2=1. Следовательно,

x

y

x

y

.

.

.

через и через :

В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы.

Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом. По определению тангенса и котангенса , .
Перемножая эти равенства, получаем

Из полученного равенства можно выразить через и наоборот:

Данные равенства справедливы при .

нахождение разности между левой и правой частями и установление, что она равна нулю;
преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.

Способы доказательств

тригонометрических тождеств:

части.
Тождество доказано.

равна нулю:

Значит, разность между левой и правой частями тождества равна нулю. Тождество доказано.

3)

равна его правой части.

Тождество доказано.