Презентация, доклад по математике на тему:Золотые пропорции человека

к мысли о каком-то скрытом, но явственно чувствующемся математическом изяществе его форм, о математической правильности и совершенстве составляющих его криволинейных поверхностей!»
философ Н.И. Крюковский

лица человека как критерий совершенной красоты
Золотые пропорции ладони человека
Витрувианский человек
Витрувианский человек Леонардо да Винчи
Леонардо да Винчи
Интересные факты из жизни Леонардо да Винчи
Леонардо Пизано Фибоначчи
Связь золотого сечения с рядом Фибоначи
Числа Фибоначи
Золотая пропорция в строении легких человека
Золотое сечение в строении уха человека
Золотые пропорции в строении молекулы ДНК
Золотая пропорция и ритмы сердца
Золотая пропорция и ритмы мозга
Золотая пропорция и работоспособность человека
Периоды жизни человека и золотая пропорция
Оптимальные физические параметры внешней среды и золотая пропорция
Золотой Вурф
Заключение

в гробнице пирамиды близ Мемфиса (около 3000 лет до н.э.). С того времени и до наших дней ученые и художники работают над раскрытием тайны пропорций человеческого тела. Известен египетский канон времени фараонов, канон эпохи Птоломеев, каноны Древней Греции и Рима, канон Поликлета, который долгое время был общепризнанным, исследования Альберти, Леонардо да Винчи, Микеланджело и ученых средних веков, и среди них прежде всего широко известен труд Дюрера. В этих исследованиях размеры человеческого тела определялись по отношению к размеру головы, лица или стопы; позднее эти основные величины были приведены в такое соотношение между собой, что получили всеобщее применение в качестве единиц измерения. "Стопа" (фут) и "локоть" сохранились в качестве общеупотребительных мер длины вплоть до нашего времени.

тела человека: Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.
Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:
расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618
расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618
расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618
расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618
расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618
расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618
расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.
К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.
На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:
Высота лица / ширина лица,
Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.
Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ
Ширина рта / ширина носа,
Ширина носа / расстояние между ноздрями,
Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты

«Золотая пропорция» на лице Джоконды.  
   Вертикальная композиция:
   1-2/2-3 = 1,615;   1 – 4 : 4 – 5 = 1,508.
   Горизонтальная композиция:
   9-10 / 7-8 = 1,625;   13-14 / 11-12 = 1,603.
    Среднее отклонение от φ равно 2,06%.  

и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.
Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).
Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. 4
У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

трактат по теории архитектуры, целиком дошедший до наших дней с дохристианских времен. Он посвящен римскому императору Августу. Считается, что его автором был военный инженер римской армии по имени Марк Витрувий Поллион.
Один из общих принципов Витрувия требует соразмерности архитектурных деталей человеческому телу и его пропорциям. По его мнению, совершенство человеческого тела проявляется, например, в том, что человека с широко расставлеными руками можно вписать в квадрат, стороны которого касаются темечка, пальцев рук и пяток. Более того, если попросить того же человека широко расставить ноги, то получится описать вокруг него окружность, центр которой совпадет с пупком.
Интересно, что оригинальный манускрипт Витрувия вообще не содержит иллюстраций, хотя ученые предполагают, что они там были изначально. Авторы изданий времен Возрождения иллюстрировали текст самостоятельно. Homo ad quadratum и homo ad circulum появлялись в самых разных вариациях как две отдельные иллюстрации закономерностей, описанных Витрувием.
И только у Леонардо Да Винчи два положения виртуозно совмещены на одном легком, прекрасно читаемом рисунке

Париж, 1547. Гравюра Ж. Гужона

Ф. Джокондо. Манускрипт Витрувия с исправлениями Джокондо, с иллюстрациями и оглавлением для чтения и понимания. 3-й том. Венеция, 1511

веков называли подобные изображения, демонстрирующие пропорции человеческого тела и их связь с архитектурой.
В наше время витрувианский человек в версии Да Винчи уже не воспринимается как геометрическая схема человеческого тела. Он превратился, ни много ни мало, в символ человека, человечества и вселенной.

П. Катанео. Первые четыре книги по архитектуре. Венеция, 1554. Фигура вписана в крестообразный план церкви

В. Скамоцци. Идея универсальной архитектуры. Часть I, книга 1. Лондон, 1676. Центральный фрагмент гравюры

надписями, выполненный Леонардо да Винчи примерно в 1490 году и помещенный в одном из его журналов. На нём изображена фигура обнажённого мужчины в двух наложенных одна на другую позициях: с разведёнными в стороны руками и ногами, вписанная в окружность; с разведенными руками и сведенными вместе ногами, вписанная в квадрат. Рисунок и пояснения к нему иногда называют каноническими пропорциями.
Рисунок написан пером, чернилами и акварелью с помощью металлического карандаша, его размеры 34,3x24,5 сантиметра. В настоящее время находится в коллекции Gallerie dell'Accademia в Венеции.

был создан для определения пропорций (мужского) человеческого тела, как оно описано в трактатах античного римского архитектора Витрувия (Vitruvius), который написал следующее про человеческое тело:
кисть составляет четыре пальца
ступня составляет четыре кисти
локоть составляет шесть кистей
высота человека составляет четыре локтя (и соответственно 24 кисти)
шаг равняется четырём локтям
размах человеческих рук равен его высоте
расстояние от линии волос до подбородка составляет 1/10 его высоты
расстояние от макушки до подбородка составляет 1/8 его высоты
расстояние от макушки до сосков составляет 1/4 его высоты
максимум ширины плеч составляет 1/4 его высоты
расстояние от локтя до кончика руки составляет 1/4 его высоты
расстояние от локтя до подмышки составляет 1/8 его высоты
длина руки составляет 1/10 его высоты
расстояние от подбородка до носа составляет 1/3 длины его лица
расстояние от линии волос до бровей 1/3 длины его лица
длина ушей 1/3 длины лица

апреля 1452, село Анкиано, около городка Винчи, близ Флоренции — 2 мая 1519, замок Клу, близ Амбуаза,Турень, Франция) — великий итальянский художник (живописец, скульптор, архитектор) и учёный (анатом, математик, физик, естествоиспытатель), яркий представитель типа «универсального человека» (лат. homo universale) — идеала итальянского Ренессанса. Живописец, инженер, механик, плотник, музыкант, математик, патологоанатом, изобретатель — вот далеко не полный перечень граней универсального гения. Его называли чародеем, служителем дьявола, итальянским Фаустом и божественным духом. Он опередил свое время на несколько веков вперед. Окруженный легендами еще при жизни, великий Леонардо — символ безграничных устремлений человеческого разума. Явив собою идеал ренессансного «универсального человека», Леонардо осмысливался в последующей традиции как личность, наиболее ярко очертившая диапазон творческих исканий эпохи. Являлся основателем искусства Высокого Возрождения.

оставил ни одного автопортрета, который бы мог ему быть однозначно приписан. Учёные усомнились в том, что знаменитый автопортрет сангиной Леонардо (традиционно датируется 1512—1515 годами), изображающий его в старости, является таковым. Считают, что, возможно, это всего лишь этюд головы апостола для «Тайной вечери». Сомнения в том, что это автопортрет художника, высказывались с XIX века, последним их высказал недавно один из крупнейших специалистов по Леонардо, профессор Пьетро Марани.
Однажды учитель Леонардо, Верроккьо получил заказ на картину «Крещение Христа» и поручил Леонардо написать одного из двух ангелов. Это была обычная практика художественных мастерских того времени: учитель создавал картину вместе с помощниками-учениками. Самым талантливым и старательным поручалось исполнение целого фрагмента. Два ангела, написанные Леонардо и Веррокьо, недвусмысленно продемонстрировали превосходство ученика над учителем. Как пишет Вазари, поражённый Верроккьо забросил кисть и никогда больше не возвращался к живописи.
Он виртуозно играл на лире. Когда в суде Милана рассматривалось дело Леонардо, он фигурировал там именно как музыкант, а не как художник или изобретатель.
Леонардо первым объяснил, почему небо синее. В книге «О живописи» он писал: «Синева неба происходит благодаря толще освещенных частиц воздуха, которая расположена между Землей и находящейся наверху чернотой».
Леонардо был амбидекстром — в одинаковой степени хорошо владел правой и левой руками. Говорят даже, что он мог одновременно писать разные тексты разными руками. Oднако большинство трудов он написал левой рукой справа налево.
Был вегетарианцем. Ему принадлежат слова «Если человек стремится к свободе, почему он птиц и зверей держит в клетках?.. человек воистину царь зверей, ведь он жестоко истребляет их. Мы живем умерщвляя других. Мы ходячие кладбища! Ещё в раннем возрасте я отказался от мяса».
Леонардо в своих знаменитых дневниках писал справа налево в зеркальном отражении. Многие думают, что таким образом он хотел сделать тайными свои исследования. Возможно, так оно и есть. По другой версии, зеркальный почерк был его индивидуальной особенностью (есть даже сведения, что ему было проще писать так, чем нормальным образом); существует даже понятие «почерка Леонардо».
В числе увлечений Леонардо были даже кулинария и искусство сервировки. В Милане на протяжении 13-ти лет он был распорядителем придворных пиров. Он изобрёл несколько кулинарных приспособлений, облегчающих труд поваров. Оригинальное блюда «от Леонардо» — тонко нарезанное мясо, тушеное с уложенными сверху овощами, — пользовалось большой популярностью на придворных пирах.

его рождения. Предполагается, что Фибоначчи родился в восьмой декаде 12-го столетия (предположительно в 1170 г.).
Один из известных историков математики Морис Кантор назвал Фибоначчи "блестящим метеором, промелькнувшим на темном фоне западно-европейского средневековья". Он высказывает предположение, что, возможно, Фибоначчи погиб во время одного из Крестовых походов (предположительно в 1228 г. ), сопровождая императора Фридриха Гогенштауфена.
Фибоначчи написал несколько математических сочинений: "Liber abaci", "Liber quadratorum", "Practica geometriae". Наиболее известным из них является "Liber abaci". Это сочинение вышло при жизни Фибоначчи в двух изданиях в 1202 г. и 1228 г. Книга состоит из 15 разделов, которые последовательно трактуют: о новых знаках индусов и как с их помощью изображать числа (раздел 1); об умножении, сложении, вычитании и делении чисел (разделы 2-5); об умножении, сложении, вычитании и делении чисел с дробями (разделы 6-7); о нахождении цен товаров и об их обмене, правиле товарищества и о правиле "двойного ложного положения" (разделы 8-13); о нахождении квадратных и кубических корней (раздел 14); и, наконец, о правилах, относящихся к геометрии и о задачах алгебры (раздел 15)

сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то  осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все  сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций.    Она для порождения золотого  сечения  пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи. Замечательным свойством этого ряда является то, что по мере увеличения чисел ряда отношение двух соседних членов этого ряда асимптотически приближается к точной пропорции Золотого сечения (1:1,618)

  Спираль золотого сечения и спираль Фибоначчи

8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 …
в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи)
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным соотношением:

Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение. 5
Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.
Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. 6 Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73º 43’.

существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).
Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

ударов в минуту в состоянии покоя. Сердце как поршень сжимает, а затем выталкивает кровь и гонит ее по телу. Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции. Случайное ли это совпадение или закономерное, отражающее гармоническую организацию сердечной деятельности?
Сердце бьется непрерывно – от рождения человека до его смерти. И его работа должна быть оптимальной, обусловленной законами самоорганизации биологических систем.
О деятельности сердца судят по электрокардиограмме – кривой, отражающей различные циклы работы сердца.

длительности, соответствующие систолической (t1) и диастолической (t2) деятельности сердца. В.Д. Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная («золотая») частота сердцебиения, при которой длительности систолы, диастолы и полного сердечного цикла (Т) соотносятся в пропорции золотого сечения, то есть Т: t2 = t2: t1. Так например, для человека эта «золотая» частота равна 63 ударам сердца в минуту, для собак – 94, что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя.
Если взять за единицу среднее давление крови в аорте, то систолическое давление крови в аорте составляет 0,382, а диастолическое – 0,618, то есть их отношение соответствует золотой пропорции. Это означает, что работа сердца в отношении временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же принципу – закону золотой пропорции.
В медицинской практике о работе сердца судят по пульсу. Оказалось, что пульсовые (минимальное и максимальное) давления находятся в отношении золотой пропорции, причем это соотношение в аорте не изменяется при изменении уровня нагрузки и соответственно частоты сердцебиения.

человека представляет собой сложнейшую самонастраивающуюся систему, основным назначением которой является регуляция деятельности различных органов человеческого тела, осуществления связи человека с окружающей средой.
Многочисленные исследования показали, что в мозгу здорового человека при различных его состояниях преобладают электрические колебания определенных частот. Изменение активации мозга происходит не непрерывно, а только дискретно, скачками, от одного уровня к другому. Каждому состоянию мозга соответствуют свои специфические волны электрических колебаний.
Состоянию покоя отвечает наиболее устойчивый a-ритм с частотами колебаний преимущественно от 8 до 13 герц. Умственной работе соответствует так называемый b-ритм с граничными частотами 14-35 герц; наиболее медленные колебания с частотой 0,5 - 4 Гц характерны для D-ритма, который соответствует состоянию глубокого сна. Наконец при появлении ощущения неприятности или опасности в мозгу доминирует q-ритм с частотами от 4 до 7 Гц.
Кроме значений граничных частот электрических колебаний мозга различных ритмов, они характеризуются и другими величинами. Одной из таких характеристик является среднее геометрической значение крайних частот, определяемое по формуле , где f1, f2 - крайние (граничные) частоты колебаний. Средняя геометрическая частота делит диапазон частот любой волны мозга на высокочастотную и низкочастотную области. Отношение этих полос есть постоянная величина для данной волны - инвариант мозга.
Исследователи обнаружили, что для b-ритма, то есть для состояния умственной работы этот инвариант совпадает с золотой пропорцией! Для других ритмов инварианты отличаются от золотой пропорции, но они также являются характерными числами 1,324 (для q-ритма), 1,272 (для a-ритма), 1,232 (для D-ритма), которые совпадают с так называемыми обобщенными золотыми пропорциями.

«золотой пропорции»

неравномерно. В ней четко прослеживается периодичность различных процессов, наличие переломных и кризисных моментов, качественных скачков. При этом периодичность жизненного процесса не может быть сведена к движению по кругу, когда мы все время возвращаемся к исходной точки, а скорее всего напоминает движение по спирали, когда как будто происходит также возвращение, но каждый раз на новом уровне.
"Фибоначчиева" закономерность прослеживается уже при эмбриональном развитии ребенка, которое завершается в нормальных условиях на 266-е сутки после оплодотворения яйцеклетки. График роста массы эмбриона в зависимости от возраста имеет несколько изломов, соответствующих примерно 24, 100, 200 суткам. Эти изломы характеризуют различные фазы перестройки в развитии эмбриона. В возрасте 24 сутки происходит переход от клеточного развития к организменным механизмам регуляции; в возрасте примерно 100 суток заканчивается период перестройки и наступает фаза устойчивого развития организма эмбриона; на 200-е сутки завершается формирование всех органов ребенка и рождение ребенка после этого срока не исключает его дальнейшего нормального развития.

пропорцию все указанные критические точки в развитии эмбриона. Для этого напомним, что величину можно разделить "золотым сечением" двояко, разделив на золотую пропорцию 1,618 или на квадрат золотой пропорции 2,618 или даже куб золотой пропорции 4,236. Если число 266 (период эмбрионального развития ребенка) разделить на квадрат золотой пропорции, то получим число 101,6, которое соответствует критической точке 100 суток. Если число 101,6 разделить на куб золотой пропорции, то получим число 24, которое соответствует еще одной критической точке в развитии эмбриона (24 суток). Наконец, интервал 266 - 101,6 = 164,4, деленный золотой пропорцией, дает число 202,6, что соответствует третьей критической точке 200 суток.
Интересные сведения о периодах жизни человека, связанные с числами Фибоначчи и числами Люка, приводят Н. Васютинский в книге "Золотая пропорция" (1990 г.) и Э. Сороко в книге "Структурная гармония систем" (1984 г.). Суть их выводов сводится к следующему. Критические возрасты мужчин соответствуют следующим годам: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, а вся жизнь мужчины делится на 7 периодов: до года - младенчество, 1-8 лет - детство, 8-13 - отрочество, 13-21 - юность, 21-34 - молодость, 34 -55 лет - зрелость, 55-89 - старость.
По мнению Н. Васютинского, периодичность в жизни женщины подчиняется ряду Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123. Сдвижка возрастных интервалов объясняется более ранним развитием девочек.

ему возможность воспринимать все многообразие внешнего мира, чутко реагировать даже на незначительные изменения внешней среды, выбирать способ поведения, обеспечивающий ему безопасное для жизни существование. Однако органы чувств не могут воспринимать весь диапазон соответствующих параметров внешней среды, которые могут возникнуть в природе. Существуют некоторые границы ощущения, характеризуемые минимальными и максимальными параметрами внешней среды, которые человек способен воспринимать. Эти границы называются абсолютно нижним и абсолютно верхним порогами ощущений.
Громкость звука. Известно, что максимальная громкость звука, которая вызывает болевые ощущения, равна 130 децибеллам. Если разделить этот интервал золотой пропорцией 1,618, то получим 80 децибелл, которые характерны для громкости человеческого крика. Если теперь 80 децибелл разделить золотой пропорцией, то получим 50 децибелл, что соответствует громкости человеческой речи. Наконец, если разделить 50 децибелл квадратом золотой пропорции 2,618, то получим 20 децибелл, что соответствует шепоту человека.
Таким образом, все характерные параметры громкости звука взаимосвязаны через золотую пропорцию.

18-20° интервал влажности 40-60% считается оптимальным. Границы оптимального диапазона влажности могут быть получены, если абсолютную влажность 100% дважды разделить золотым сечением:
100/2,618 = 38,2% (нижняя граница); 100/1,618 = 61,8% (верхняя граница).
Давление воздуха. При давлении воздуха 0,5 МПа у человека возникают неприятные ощущения, ухудшается его физическая и психологическая деятельность. При давлении 0,3 - 0,35 МПа разрешается только кратковременная работа, а при давлении 0,2 МПа разрешается работать не более 8 мин. Все эти характерные параметры связаны между собой золотой пропорцией:
0,5/1,618 = 0,31 МПа; 0,5/2,618 = 0,19 МПа.
Температура наружного воздуха. Граничными параметрами температуры наружного воздуха, в пределах которых возможно нормальное существование (а, главное, стало возможным происхождение) человека является диапазон температур от 0 до +(57-58)°С. Очевидно, по первой границе пояснений можно не приводить. Вторая граница соответствует максимально возможной температуре наружного воздуха для организма человека. Разделим указанный диапазон положительных температур золотым сечением. При этом получим две границы:
Обе границы являются характерными для организма человека температурами: первая соответствует температуре тела человека 36,6°С (отклонение составляет менее 3%), вторая является наиболее благоприятной температурой для организма человека.
Последнюю границу можно получить из температуры тела человека с помощью золотой пропорции:
36,6/1,618 = 22,62°С.
Хотя все эти расчеты, на первый взгляд, кажутся искусственными, но тем не менее они заставляют нас задуматься над ними, а иногда и практически использовать.

находятся в отношении золотого сечения. Известно, что рост любого биологического объекта (в том числе и человека) сопровождается изменением их конфигураций на основе законов биосимметрии, в их основе лежат конформные (круговые) преобразования. При конформных преобразованиях в общем случае изменяются как размеры, так и форма тела. Конформные преобразования имеют важное значение при анализе возрастных изменений пропорций кинематической схемы тела человека. Кинематическая схема человека и вообще позвоночных животных состоит из трехчленных кинематических блоков: трех-фаланговых пальцев, трех-членистых конечностей (плечо-предплечье-кисть, бедро-голень-стопа), трехчленного тела (верхний, туловищный и нижний участки). С.В. Петухов показал, что пропорции длин трехчленных блоков тела человека в процессе роста изменяются по правилам конформных преобразований: "в каждом трехчленном блоке ростовое удлинение одного звена согласовано с удлинением двух других звеньев так, что в распрямленном блоке сохраняется неизменным инвариант одномерных круговых (и проектных) преобразований, называемых двойным отношением или вурфом:



где в скобках даны соответствующие длины звеньев между четырьмя расчленяющимися точками (A, B, C, D) трехчленного блока".
Средняя величина вурфов трехчленных кинематических блоков тела человека совпадает с величиной "золотого вурфа".

больше и больше с искусством и биологическими процессами. Во второй половине 20-го столетия такое представление о гармонии Вселенной вышло на передние роли в математическом изучении природы. Современные научные открытия, связанные с "золотым сечением" (квази-кристаллы, резонансная теория Солнечной системы, новая геометрическая теория филлотаксиса, закон структурной гармонии систем и др.) являются достаточным аргументом и доказательством наиболее удивительной научной гипотезы, возникшей в древнем Египте и реализованной в Пирамиде Хеопса. Эта гипотеза провозглашает, что золотое сечение является главной пропорцией Мироздания.
Но подобно тому, как исследования Кеплера, нацеленные на поиски принципов Гармонии Вселенной (завершившиеся открытием законов движения планет), в конечном итоге привели к возникновению ньютоновской теории гравитации и созданию дифференциального и интегрального исчисления, оптимально адаптированных для описания механических процессов, современные исследования в области могут привести, в конечном итоге, к Математике Гармонии, оптимально адаптированной к описанию "гармонических" процессов в живой и неживой природе. "Золотое сечение" должно стать основной константой Математики Гармонии.

её приложений, а во имя той духовной прибыли, которая связана с ней". Платон. "Нет идеальной красоты без некоторой странности пропорций". " В наслаждении красотою есть элемент наслаждения мышлением". Аристотель. Там, где присутствует золотое сечение, ощущается красота и гармония". " Пусть не читает меня тот, кто не математик". Леонардо да Винчи. "Все в ней гармония, все диво" А.С.Пушкин. "Фигура выражает сдержанную мощь и гордое достоинство человека, вполне сознающего, что именно он является "мерой всех вещей" А.С.Пушкин. "Красота должна отвечать строгому числу" Л.Б.Альберти