Презентация, доклад по математике на тему Задачи с параметрами

ролей переменных.
6.Метод перехода от общего к частному.
7.Метод свободных ассоциаций.
8.Метод «обратного хода».
9.Комбинированные методы.

задач, но и обязательной составной частью всех остальных методов. Основной частью аналитического метода решения задач является метод эквивалентных или равносильных преобразований. Предлагаемый подход к решению уравнений и неравенств с параметрами, их систем или совокупностей основан на замене одного математического высказывания другим равносильным математическим высказыванием. При этом исходное условие рядом равносильных преобразований или преобразований-следствий приводится к совокупности простейших логических утверждений, истинность ли ложность которых считается установленной.

разделение условия задачи на совокупность более простых условий.
Так, условие задачи, содержащее выражения, стоящее под знаками модуля, обычно разделяют на совокупность более простых условий, не содержащих модуль.

решении задач:

1. кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций;
2. свойства четности и нечетности, периодичность функции;
3. свойства ограниченности области определения или области значения функции;
4. при неявном задания функции используются свойства симметрии графика соответствия относительно осей координат или начала координат и т.д.;
5. наиболее часто при решении задач этим методом применяются методы математического анализа: использование непрерывности, дифференцируемости, монотонности, устанавливаемой с помощью тех же методов.

как минимум с двумя переменными — аргументом и параметром. Следовательно, решение задачи — упорядоченный набор их значений, может рассматриваться как координаты точки некоторого евклидова пространства.
Координатно-графический метод представляет искомые решения в виде геометрического места точек на координатной плоскости, где в качестве одной из координат выступает параметр, а в качестве другой — искомая переменная. Решение задачи в этом случае рассматривается как значение координаты, соответствующей искомой переменной, принадлежащей линии или области, задаваемой условием.

новых переменных, существенно упрощающих процесс решения.
Чаще всего метод замены используется при решении тригонометрических уравнений или неравенств. Он позволяет сводить их к алгебраическим уравнениям и неравенствам, анализ которых проще. Однако существуют алгебраические задачи, решение которых становится более простым после получения их тригонометрического эквивалента.

и одного из параметров, чтобы получить возможность проведения анализа представленного условия.
Достаточно часто бывает, что степень искомой переменной гораздо выше, чем степень входящего в условие параметра. Изменение ролей в этом случае приводит к реальному упрощению процесса решения.

справедливо при всех значениях переменной или при всех значениях параметров, то для успешного продвижения в решении бывает достаточно найти «удобное» значение этой переменной или параметра, для которого искомое решение задачи будет являться следствием.

терминах других областей математики, существенно упрощающих условие, дающих адекватное понимание.
В процессе зарождения ассоциаций устанавливаются неординарные взаимосвязи между компонентами решаемой проблемы и элементами внешнего мира. В результате процесса зарождения новых ассоциативных связей и возникают творческие идеи решения проблемы.
Часто используют прием аналогии — поиск аналога и использование всех процедур решения по аналогии, использование результатов аналогичных задач как некоторой базы для решения данной задачи.

меньше количества неизвестных, иногда можно преодолеть, предположив, что какая-либо часть решения, чаще всего искомое значение параметра, найдена.

иной функции и присущи решению только данной конкретной задачи.

при каких допустимых значениях параметров уравнение или неравенство
1) имеет решение,
2) не имеет решения,
3) установить количество решений,
4) найти вид каждого решения при соответствующих ему значениях параметров.

решения линейного уравнения:
1.Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра.
2.Если а≠0, то уравнение имеет единственное решение х= 3/a.
3. Если а=0, то равенство 0∙х=3 невозможно ни при каких значениях переменной х, следовательно, уравнение решений не имеет.
Ответ. При а≠0 решением является число 3/а.
При а=0 уравнение решений не имеет.

⇔ ах+2х=4-а2 ⇔ (а+2)х=4-а2.

1.Если а+2 ≠0, а ≠-2, то , х=2-а.

2. Если а=-2, то уравнение обращается в равенство 0∙ х=0, где х- любое действительное число.
Ответ. Если а ≠-2, то х=2-а.
Если а=0, то решение - любое действительное число.

служить ни одно значение х.

2) Если , т.е. 0 < m <1/2, получим, что



3) Если , что равносильно тому что ,

то

Ответ. При m=1/2 решений нет.

При 0< m <1/2

При m < 0 и m > 1/2

уравнений имеет единственное решение.

Искомые значение параметра

задаются неравенством 6а2-1≠0. Следовательно,






Ответ. При любом а ≠

=0 имеет единственное решение?

Уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен 0.
Следовательно, искомое значение параметра а задается уравнением
а2-4=0, т.е. а = ± 2.
Ответ. -2, 2.

4a2b2- (a2 + b2)2= - a4+2a2b2-b4=-(a2-b2)2.

2) Если а2≠b2, то D < 0, и уравнение решения не имеет.
3) Если а2=b2, т.е. а = ± b, то уравнение имеет решение , но при этом D = 0, и поэтому единственное значение переменной х, удовлетворяющее уравнению, определяется по формулу х = 2ab.
Ответ.1) Если а2≠b2, то уравнение не имеет корней.
2) Если а2=b2 , то единственный корень х = 2ab.

имеет различные корни, среди которых нет ни одного положительного.

По условию, если х1, х2 –корни уравнения, то x1Поэтому искомые значения параметра задаются системой:



Получим





Ответ.

будет верным при всех значениях х.

Х2-х+1 >0 при любых значениях х. Следовательно, 2-ах-х2≤ 3х2-3х+3 ⇔ 4х2+ (а-3)х+1≥ 0.
Так как старший коэффициент положителен, то этот трехчлен будет принимать неотрицательные значения тогда и только тогда, когда D ≤ 0.
D = (а-3)2-16 = (а-7)(а+1).
(а-7)(а+1) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ а ≤ 7.

Ответ. [-1;7].

х1=-1- , х2=-1+ ,
где х1< x2.


Ответ.
При а ≥1 уравнение имеет корень х2=-1+
При а<0 корней нет.

системе




Откуда имеем а ≤ х < a2+a.
Ответ. При а≤0 решений нет;
при а>0 x∈[a;a²+a).

если а≤0.

Построим эскизы графиков функций
и у=а-х, где а<0 (при а=0 неравенство имеет единственное решение х=0).
Точка пересечения графиков имеет абсциссу – корень уравнения 2ах-х2=(а-х)2 такой, что 2a
Корни

Тогда х0 =х2, а множество решений неравенства - отрезок

то корней нет.
Если а≠0, то t1=a2, t2=-a,
3x=a2, 3x=-a.
Если а>0, то x=log3a2 (3x=-a при а>0 не имеет корней).
Если а=-1, то t=1, т.е. 3х=1 и х=0.
Пусть а<0 и a ≠-1, тогда t1=a2, t2=-a и x1 =log3a2 , х2=log3(-a).

Ответ. При а=0 корней нет.
При а>0 x=log3a2 ;
при а<0 и a ≠-1 x1 =log3a2,х2=log3(-a);
при а=-1 х=0.

имеет ровно один корень.

Исходное уравнение равносильно каждой из следующих систем:





Квадратное уравнение системы х2+(2-а)х+1=0 имеет единственный корень, если : 1) D=0, откуда а=0 и а=4, но системе удовлетворяет а=4;
2) D>0 при a<0, a>4, и только один из корней удовлетворяет системе; это верно при a<0.
Ответ. При а=4 и а<0

√ 5

Применим метод вспомогательного угла.
Обозначим
Разделим обе части на b≠0, получим

или

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда


Ответ. При а≤ -2 , а ≥ 1.

cos6x = a.

Преобразуем левую часть исходного уравнения, получим





Ответ. ¼ ≤ a≤ 1.

х и числового параметра а.
Зададим координатную плоскость хОа. Отметим два частных случая.
1) Координата х есть функция параметра а: x= f(a).
На координатной плоскости хОа горизонтальная ось Оа соответствует значениям параметра а.
Точки (а;х) удовлетворяют уравнению F(x,a)=0 и множество этих точек представляет график функции x= f(a), где роль аргумента играет параметр.

неявно заданная уравнением F(x,a)=0.
Можно рассматривать плоскость хОа с вертикальной параметрической осью Оа.
Множество всех точек, значения координаты и параметры каждой из которых удовлетворяют уравнению F(x,a)=0 можно интерпретировать как график функции а = ϕ (х), где роль аргумента функции играет координата х.
Центральное место в этом методе занимает нахождение множества всех точек плоскости, определяемых уравнением F(x,a)=0.

– линейное относительно х. Следовательно оно равносильно уравнению
(а-1)(а+1)х = (а-1)(2а+3), и х можно выразить так при условии, что а ≠ 1, а ≠ -1.
Если а=-1, то уравнение корней не имеет.
Если а = 1, то корнем уравнения может быть любое действительное число.
На плоскости хОа множество точек, значения координаты и параметра которых удовлетворяют исходному уравнению, состоит
из гиперболы или и прямой а = 1.

а=-1∈R нет корней; при

-11

бы одно решение, удовлетворяющее неравенству х>1/2.

Построим параболу а=х2-х, координаты каждой точки удовлетворяют исходному уравнению.
Эта парабола пересекает оси в точках х=0,а=0 и х=1,а=0.
Координаты вершины параболы х=1/2, a=-1/4.
Неравенству х>1/2 удовлетворяют все точки полуплоскости без границы х=1/2.
Значения а, при которых все точки параболы находятся в данной полуплоскости, являются искомыми.
Ответ. a >-1/4.

всех х таких, что 1≤ х ≤ 3.

На плоскости множество точек (х;а), удовлетворяющих исходному неравенству, состоит из областей , ограниченных прямыми х=3а и х= а+3.
Искомыми будут значения параметра 0