Презентация, доклад по математике на тему Симметрия в алгебре

постичь и создать порядок, красоту и совершенство.
Г.Вейль

её при действии движений и отображений.

выражения относительно корней квадратного уравнения встречаются в теореме Виета.

ось ОУ.

симметрия

спирали Архимеда.

ах3 + bx2 + bх + a = 0.
Свойства возвратных уравнений:
а) у любого возвратного уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.
б) у возвратного уравнения корней, равных нулю, нет.
в) при делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова возвратным многочленом и это доказывается по индукции.

исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х3 + 2x2 + 2х + 1 на (х+1):
х3 + 2x2 + 2х + 1 = (х + 1)(x2 + х + 1) = 0.
Квадратное уравнение x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.
Ответ: -1.

вид ах4 + bx3 + сх2 + bх + a = 0.
Алгоритм решения :
а) Разделить обе части исходного уравнения на х2.
б) С помощью группировки привести уравнение к виду:
а(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) + c = 0.
в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).
г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение:
аt2 + bt + c – 2a = 0.
д) Сделать обратную подстановку.

+ 6 = 0.

Решение: 6х2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0,
6(х2 + 1/х2) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.
Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена:
(x2 + 1/x2) = t2 – 2, имеем:
6t2 – 5t – 50 = 0, t = -5/2 или t = 10/3.
Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:
x + 1/x = -5/2; х2 + 5/2 х +1 = 0;
х = -2 или х = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3; х2 – 10/3 х + 1 = 0;
х = 3 или х = 1/3.
Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.

+ а)n + (х + b)n = c, решаются подстановкой t = x + (a + b)/2
(метод симметризации).

Пример: (х + 3)4 + (х + 1)4 = 272.
Решение:  Делаем подстановку:t = x + (3 + 1)/2 = х + 2, после упрощения: х = t – 2.
(t – 2 + 3)4 + (t – 2 + 1)4 = 272, (t + 1)4 + (t – 1)4 = 272.
Убрав скобки с помощью формул, получим:
t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 + t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 = 272.
2t4 + 12t2 – 270 = 0, t4 + 6t2 – 135 = 0, t2 = 9 или t2 = -15.
Второе уравнение корней не дает,
а вот из первого имеем t = ±3.
После обратной замены получим, что х = -5 или х = 1.
Ответ: -5; 1.

от х и у , то систему уравнений называют симметрической системой уравнений.


При их решении полезной бывает такая замена неизвестных: x+y=u, xy=v

корнями .Соответственно ,
а) и б)

Система а) имеет решения
Система б) решений не имеет.
Ответ: (3;5), (5;3).

можно наблюдать симметрию в алгебре. В любом из её разделов можно обнаружить элемент симметрии. Здесь можно вспомнить треугольник Паскаля, матрицы, симметричные относительно главной диагонали, законы распределения случайной величины. Симметрия вносит красоту и гармоничность в решение задач. Такое явление как симметрия действительно окружает нас повсюду.

-1.

Если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом:
а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0,
то есть возможность вынести общий множитель (х+1)(ах2+(b–а)x+а)=0,
поэтому, х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.